Congruência de triângulos
Dois triângulos são congruentes quando podemos recortar um deles em papel e cobrir exatamente o outro com ele. Com o triângulo recortado podemos mexer como quisermos: deslocá-lo, girá-lo e até virá-lo do outro lado. Só não podemos esticá-lo nem encolhê-lo.
Em triângulos congruentes, os lados correspondentes têm o mesmo comprimento e os ângulos correspondentes têm a mesma medida. Na figura, os lados correspondentes têm a mesma cor: o lado AB tem o mesmo comprimento que KL, o lado BC que LM e o lado AC que KM. Isso se escreve assim:
A ordem dos vértices na notação não é casual. Ela determina qual vértice cai sobre qual: A sobre K, B sobre L e C sobre M.
Casos de congruência
O triângulo tem seis elementos: três lados e três ângulos. Para reconhecer que dois triângulos são congruentes, não precisamos comparar os seis. Bastam três, só que eles precisam ser escolhidos corretamente. Os quatro casos de congruência revelam quais trios bastam. Nas figuras, esses três elementos estão destacados em cores.
Caso LLL: Dois triângulos que têm os três lados congruentes são congruentes. Lembre-se de como se desenha um triângulo a partir dos três lados. Encontramos o ponto C com o compasso como interseção de duas circunferências. Elas, é verdade, se cruzam em dois pontos, acima do lado AB e abaixo dele, mas os dois triângulos obtidos são apenas cópias viradas de um mesmo triângulo. A partir de três lados, portanto, sempre resulta o mesmo triângulo.
Caso LAL: Bastam dois lados e o ângulo formado por esses lados. O ângulo precisa ficar no vértice onde os dois lados se encontram.
Caso ALA: Basta um lado e os dois ângulos adjacentes a ele. Os lados dos dois ângulos se cruzam em um único ponto, o terceiro vértice.
Caso LLAo: Bastam dois lados e o ângulo que fica oposto ao maior deles. O “Ao” no nome lembra que o ângulo é oposto a um dos lados, e ele precisa ser o oposto ao lado maior. (Nos livros brasileiros, a lista usual é LLL, LAL, ALA e LAAo; este caso aparece sobretudo no triângulo retângulo, como o caso especial cateto–hipotenusa.)
Quando não basta
É muito tentador dizer que bastam três elementos quaisquer. Não bastam.
Três ângulos iguais são pouco. Um triângulo com os mesmos ângulos pode ser arbitrariamente grande, como uma foto e a sua ampliação. Esses triângulos têm a mesma forma, mas não o mesmo tamanho, e os chamamos de semelhantes.
Também não funcionam dois lados e o ângulo oposto ao menor deles. Vamos tentar desenhar um triângulo assim. Primeiro desenhamos o ângulo α e, em um de seus lados, marcamos o lado c = |AB|. O ponto C fica no outro lado do ângulo e dista a do ponto B; por isso traçamos em torno de B uma circunferência de raio a. Se a for menor que c, a circunferência pode cortar o lado do ângulo em dois pontos:
Os triângulos ABC1 e ABC2 coincidem nos lados a, c e no ângulo α, e mesmo assim não são congruentes. Se a fosse maior que c, a circunferência cortaria o lado apenas uma vez. E é exatamente isso que diz o caso LLAo.
Exemplo: largura de um rio
Imagine que estamos na margem de um rio, no ponto A, e bem à nossa frente, na outra margem, cresce uma árvore T. Como descobrir a largura do rio se não podemos esticar uma trena de um lado a outro?
Seguimos pela margem e, depois de 20 metros, fincamos uma estaca P. Depois andamos mais 20 metros até o ponto B. Ali viramos em direção perpendicular ao rio e andamos até que a estaca e a árvore fiquem alinhadas. Nesse lugar está o ponto C.
Os triângulos APT e BPC são congruentes pelo caso ALA. Os dois lados AP e BP medem 20 metros. Os ângulos em A e em B são retos. Os ângulos na estaca P são opostos pelo vértice e, portanto, também têm a mesma medida. Disso decorre que
e o lado BC tem o mesmo comprimento que o lado AT, ou seja, que a largura do rio.
Digamos que do ponto B ao ponto C contamos 36 passos e que um passo mede cerca de 75 cm. A distância |BC| é, então,
O rio tem cerca de 27 metros de largura, e nem precisamos nos molhar.
Veja também
Capítulos: Triângulo, Altura de um triângulo, Mediana de um triângulo, Circunferências no triângulo, Triângulo retângulo, Como desenhar um triângulo, Congruência de triângulos, Semelhança de triângulos, Área de um triângulo, Teorema de Pitágoras
