Háromszögek egybevágósága
Két háromszög egybevágó, ha az egyiket kivágjuk papírból, és pontosan lefedjük vele a másikat. A kivágott háromszöget tetszés szerint mozgathatjuk: eltolhatjuk, elforgathatjuk, sőt át is fordíthatjuk a másik oldalára, vagyis megfordíthatjuk a papírt. Csak megnyújtani vagy összezsugorítani nem szabad.
Egybevágó háromszögekben a megfelelő oldalak egyenlő hosszúak, a megfelelő szögek pedig egyenlő nagyok. Az ábrán a megfelelő oldalak azonos színűek: az AB oldal ugyanolyan hosszú, mint a KL, a BC oldal mint az LM, az AC oldal pedig mint a KM. Így írjuk le:
A csúcsok sorrendje a jelölésben nem véletlen. Ez adja meg, melyik csúcs melyikre kerül: A a K-ra, B az L-re és C az M-re.
Egybevágósági alapesetek
A háromszögnek hat adata van: három oldala és három szöge. Hogy kiderüljön, két háromszög egybevágó-e, nem kell mind a hatot összehasonlítani. Elég három, csak jól kell őket kiválasztani. Hogy melyik hármasok elegendők, azt négy egybevágósági alapeset árulja el. Az ábrákon ez a három adat színnel van kiemelve.
Három oldal: Két háromszög, amelynek mindhárom oldala megegyezik, egybevágó. Idézd fel, hogyan szerkesztünk háromszöget három oldalból. A C pontot a körzővel találjuk meg két kör metszéspontjaként. A két kör ugyan két pontban metszi egymást, az AB oldal fölött és alatt, de a két keletkező háromszög ugyanannak a háromszögnek a tükörképe. Három oldalból tehát mindig ugyanaz a háromszög jön ki.
Két oldal és a közbezárt szög: Elég két oldal és az általuk közbezárt szög. A szögnek annál a csúcsnál kell lennie, ahol a két oldal találkozik.
Egy oldal és a rajta fekvő két szög: Elég egy oldal és a két végpontjánál lévő két szög. A két szög szárai egyetlen pontban metszik egymást, a harmadik csúcsban.
Két oldal és a nagyobbikkal szemközti szög: Elég két oldal és a nagyobbikkal szemközti szög. Ügyelj rá, hogy a szög a két oldal közül a nagyobbikkal legyen szemközt.
Mikor nem elég
Nagyon csábító azt mondani, hogy bármilyen három adat elég. Nem elég.
Három egyenlő szög kevés. Az azonos szögű háromszög lehet tetszőlegesen nagy, akárcsak egy fénykép és a nagyítása. Az ilyen háromszögek alakja ugyanaz, a méretük viszont nem, és hasonlónak nevezzük őket.
Az sem elég, ha két oldal és a kisebbikkel szemközti szög adott. Próbáljunk meg ilyen háromszöget szerkeszteni. Először megszerkesztjük az α szöget, és az egyik szárára felmérjük a c = |AB| oldalt. A C pont a másik száron van, és a B ponttól a távolságra, ezért B középpontú, a sugarú kört rajzolunk. Ha a kisebb, mint c, a kör két pontban is metszheti a szárat:
Az ABC1 és ABC2 háromszög megegyezik az a és c oldalban és az α szögben is, mégsem egybevágóak. Ha a nagyobb lenne, mint c, a kör a szárat csak egyszer metszené. Pontosan ezért kell a szögnek a nagyobbik oldallal szemközt lennie.
Példa: a folyó szélessége
Képzeld el, hogy egy folyó partján állunk az A pontban, és velünk szemben, a túlparton egy S fa nő. Hogyan tudjuk meg a folyó szélességét, ha nem tudunk mérőszalagot kifeszíteni a két part között?
Elindulunk a part mentén, és 20 méter után leszúrjuk a P cöveket. Aztán megteszünk még 20 métert a B pontig. Itt derékszögben elfordulunk a folyótól, és megyünk, amíg a cövek és a fa egy vonalba nem kerül. Ezen a helyen van a C pont.
Az APS és BPC háromszög egybevágó, mert egy oldaluk és a rajta fekvő két szögük egyenlő. Az AP és a BP oldal is 20 méter hosszú. Az A-nál és a B-nél lévő szögek derékszögek. A P cöveknél lévő szögek csúcsszögek, tehát szintén egyenlő nagyok. Ebből következik, hogy
és a BC oldal ugyanolyan hosszú, mint az AS oldal, vagyis mint a folyó szélessége.
Tegyük fel, hogy a B pontból a C pontig 36 lépést számoltunk meg, és egy lépés körülbelül 75 cm. A |BC| távolság így
A folyó körülbelül 27 méter széles, és még a lábunkat sem kellett megáztatnunk.
Lásd még
Fejezetek: Háromszög, A háromszög magassága, A háromszög súlyvonala, Háromszög köré írt és beírt kör, Derékszögű háromszög, Háromszög szerkesztése, Háromszögek egybevágósága, Háromszögek hasonlósága, A háromszög területe, Pitagorasz-tétel
