Logaritma Fonksiyonu

Logaritma fonksiyonu, üstel fonksiyonun ters fonksiyonudur.

Logaritma Nedir?

Logaritma fonksiyonunu log ile yazarız; doğal logaritma ise (aşağıya bak) ln ile gösterilir. Logaritma fonksiyonunun temel kuralı şöyledir:

$y = \log_{a} x$

Bu gösterimi şöyle okuruz: “x sayısının a tabanında logaritması”. Bu logaritma fonksiyonu, f(x) = a^x üstel fonksiyonunun tersidir. Logaritma fonksiyonunun fonksiyon değerine logaritma denir.

Logaritma fonksiyonu üstel fonksiyonun tersi olduğu için şu denklik geçerli olmalıdır:

$y = \log_{a} x \Leftrightarrow a^{y} = x$

Yani a^y değeri x’e eşitse, x’in a tabanında logaritması y’ye eşittir. Birkaç örnek gösterelim. f(x) = 2^x üstel fonksiyonu olsun. Ters (logaritma) fonksiyonu nasıl görünür? Şöyle: f⁻¹(x) = log₂x. Üstel fonksiyonda x yerine 3 yazarsak f(3) = 2³ = 8 elde ederiz.

Şimdi hangi ilişki geçerli olmalı? Ters fonksiyon f⁻¹’e 8 verirsek, logaritma fonksiyonu bize 3’ü döndürmelidir. Çünkü 3 sayısı üstel fonksiyonun girişiydi, 8 ise sonucuydu. Ters fonksiyon tersine davranır: girişi 8, çıkışı 3’tür. Bunun gerçekten böyle olduğunu şimdilik örneğin Google’da kontrol edebilirsin.

Demek ki 2³ = 8 yazarsak, ters logaritma fonksiyonu bize şu bağıntıyı verir: log₂8 = 3. O hâlde logaritma nedir? Logaritma, x sayısını elde etmek için tabanın yükseltilmesi gereken üstür.

Önemli Logaritma Fonksiyonları

Bazı logaritma fonksiyonları özellikle önemlidir. Bunlardan biri, tabanı Euler sayısı olan “doğal logaritma”dır. Euler sayısını e harfiyle gösteririz. Bu, irrasyonel bir sayıdır, yani ondalık açılımı sonsuz ve devirsiz olan bir sayıdır. Yaklaşık değeri: e = 2,718 281.828…. Doğal logaritmayı ya log_ex ya da daha kısa olarak ln x biçiminde yazarız. Buradaki “n” harfi Latince “logarithmus naturalis” ifadesinden gelir; ama aklında tutmak için İngilizce de yeter: “natural” = “doğal”.

Bir diğer önemli logaritma, tabanı on olan “onluk logaritma”dır. Genellikle ya log₁₀x ya da yalnızca log x olarak yazılır. Logaritmada taban belirtilmemişse taban 10 kabul edilir.

Logaritma Fonksiyonunun Özellikleri

Bildiğimiz gibi logaritma fonksiyonu üstel fonksiyonun tersidir. Bu sayede onun bazı özelliklerini ve kısıtlarını da devralır. Üstel fonksiyonun f(x) = a^x biçiminde olduğunu biliyoruz; burada a, sıfırdan büyük ve 1’den farklı bir gerçek sayıdır. Bu yüzden logaritmanın tabanı a da sıfırdan büyük ve 1’den farklı olmalıdır. Logaritma fonksiyonunun yazılışını bir kez daha yazalım:

$y = \log_{a} x, a \in R, a > 0, a \neq 1$

Ters fonksiyon olduğu için tanım kümesini ve görüntü kümesini de zaten biliriz. Logaritma fonksiyonunun tanım kümesi, üstel fonksiyonun görüntü kümesiyle aynıdır; yani logaritma fonksiyonunun tanım kümesi (0, ∞) aralığıdır. Logaritmanın görüntü kümesi de üstel fonksiyonun tanım kümesiyle, yani tüm gerçek sayılar kümesiyle aynıdır.

Logaritma Fonksiyonlarının Grafikleri

Üstel fonksiyonda olduğu gibi burada da iki durumu ayırt etmemiz gerekir: a tabanı (0, 1) aralığından olduğunda ve (1, ∞) aralığından olduğunda. İlk durumda, yani a değeri (0, 1) aralığındaysa grafik şöyle görünür:

$\log_{\frac12}x logaritma fonksiyonunun grafiği$

a tabanı (1, ∞) aralığındaysa grafik şöyle görünür:

$\log_ex logaritma fonksiyonunun grafiği$

Üstel fonksiyonun ve onun tersi olan logaritma fonksiyonunun grafiklerine tek bir grafikte de bak (mavi olan logaritma, kırmızı olan üstel fonksiyondur):

$y=e^x ve y=\log_ex fonksiyonlarının grafiği — eğriler I. ve III. bölgenin açıortayına (gri kesikli çizgi) göre simetriktir$

Grafikler Neden (1, 0) Noktasından Geçer?

İki grafik de x eksenini x = 1 noktasında keser. Bu doğrudur, çünkü her üstel fonksiyon (0, 1) noktasından geçer. Logaritma ters fonksiyon olduğu için bu fonksiyon her zaman (1, 0) noktasından geçmek zorundadır. Bunun bir mantığı var. Grafik (1, 0) noktasından geçiyorsa, fonksiyonun girişi x = 1 iken çıkışı f(x) = 0 demektir.

Logaritmada bu, tabanı yükselttiğimizde 1 veren üssü aradığımız anlamına gelir. Bu hangi üstür? Yalnızca 0. Sıfırıncı kuvvete yükseltilen her sayı 1’dir; bu yüzden taban ne olursa olsun logaritma fonksiyonu (1, 0) noktasından geçer. (Not: tabanın tamamen keyfi olamayacağını unutma: a>0 ve a ≠ 1.)

Logaritma Kuralları (Formüller)

Aşağıda logaritmalar hakkında söyleyebileceğimiz bazı önemli bağıntılar ve formüller yer alıyor:

a sayısının gerçekten logaritmanın tabanı olduğunu varsayalım, yani a>0, a ≠ 1. Ayrıca x₁ ve x₂ keyfi pozitif gerçek sayılar olsun. O zaman şunlar geçerlidir:

$\begin{array}{rcl} \log_{a} (x_{1} \cdot x_{2}) & = & \log_{a} x_{1} + \log_{a} x_{2} \\ \log_{a} (\frac{x_{1}}{x_{2}}) & = & \log_{a} x_{1} - \log_{a} x_{2} \\ \log_{a} x^{r} & = & r \cdot \log_{a} x \forall r \in R \\ \log_{a} \sqrt[n]{x} & = & \frac{1}{n} \log_{a} x \forall n \in Z^{+} \end{array}$

Doğrudan logaritmanın tanımından çıkan bazı bağıntılar:

$\begin{array}{rcl} \log_{a} 1 & = & 0 (a^{0} = 1) \\ \log_{a} a & = & 1 (a^{1} = a) \\ a^{\log_{a} x} & = & \log_{a} a^{x} = x \end{array}$

Başka Bir Logaritmayı Doğal Logaritma ile İfade Etme

Bazen, örneğin hesap makinesinde her tabanda logaritma bulunmaz, yalnızca doğal ve onluk logaritma vardır. Başka bir tabanda logaritma hesaplaman gerekiyorsa ne yapacaksın? Sana yardımcı olacak bir formül var. Şu geçerlidir:

$\log_{a} x = \frac{\log_{b} x}{\log_{b} a}$

b yerine Euler sayısını seçersek şu formülü elde ederiz:

$\log_{a} x = \frac{\ln x}{\ln a}$

İlk bölümde 8 sayısının 2 tabanında logaritmasını hesaplamamız gerekmişti. Bunu doğal logaritma ile şöyle hesaplayabiliriz:

$\log_{2} 8 = \frac{\ln 8}{\ln 2} = 3$

Hesabı yine Google’da kontrol edebiliriz. Doğal logaritma kullanmak zorunda da değilsin, formül izin verdiği için onluk logaritmayı da rahatlıkla kullanabilirsin. Yani şu da geçerlidir:

$\log_{2} 8 = \frac{\log 8}{\log 2} = 3$

(Taban belirtilmemişse tabanın a = 10 kabul edildiğini unutma.) Yine Google’da kontrol edebilirsin.

« Önceki: Köklü Sayılar

Sonraki: İkinci Dereceden Fonksiyon »