Fonksiyonların Özellikleri

Fonksiyon, M tanım kümesindeki her x sayısına, N görüntü kümesindeki tam olarak bir y sayısını karşılık getiren bir kuraldır. Fonksiyonu genellikle y = f(x) biçiminde yazarız ya da açık biçimde f:y = x olarak ifade edebiliriz; burada x değişkeni fonksiyonun bağımsız değişkenidir (argümanıdır).

Tanım Kümesi ve Görüntü Kümesi

Her fonksiyon için tanım kümesini de belirlememiz gerekir; bu, x argümanının alabileceği tüm kabul edilebilir değerlerin, yani x değişkeninin alabildiği tüm değerlerin kümesidir.

Basit bir örnek: f:y = x fonksiyonunda tanım kümesi gerçek sayıların tamamıdır, yani ℝ. Başka bir örnek: $f:y=\frac{1}{x}$ fonksiyonunda tanım kümesi, sıfır dışındaki gerçek sayılar kümesidir, yani ℝ ∖ {0}; çünkü sıfıra bölemezsin, ifade bu durumda anlamsız olurdu.

Görüntü kümesi de benzer biçimde kabul edilebilir tüm y değerlerinin, yani f fonksiyonunun alabileceği tüm değerlerin kümesidir. Yine basit bir örnek: f:y = x fonksiyonunu ele alalım. Burada görüntü kümesi ℝ’dir, çünkü y bu kümenin herhangi bir değerini alabilir. Ama şimdi başka bir fonksiyona bakalım: f:y = |x| (mutlak değer). Burada görüntü kümesi [0, +∞) aralığına eşit olur, çünkü mutlak değerin tanımı gereği y’nin örneğin eksi beşe eşit olması asla mümkün değildir.

A kümesinden B kümesine bir fonksiyon kavramına bağlı kalırsak, A kümesi tanım kümesidir, B kümesi ise fonksiyonun değer kümesidir, yani fonksiyonun elemanları gönderdiği kümedir; görüntü kümesi bunun bir alt kümesidir.

Fonksiyonun Artanlığı ve Azalanlığı

Fonksiyonun monotonluğu, fonksiyonun verilen bir aralıkta artan, azalan, artmayan, azalmayan ya da sabit olduğunu veya bunların hiçbiri olmadığını belirleyen bir özelliktir.

Bu özelliği en iyi grafikten okuyabilirsin: grafik sana azalıyormuş gibi geliyorsa fonksiyon azalandır, fonksiyon artıyorsa artandır. Ne kadar basit :-). Tanımlar şöyle olurdu: elimizde bir f fonksiyonu olsun ve x₁, x₂ bu fonksiyonun tanım kümesinin elemanları olsun. O zaman şunu söyleriz:

• f fonksiyonu artandır, eğer x₁ < x₂ iken f(x₁) < f(x₂) ise.
• f fonksiyonu azalandır, eğer x₁ < x₂ iken f(x₁) > f(x₂) ise. (Tanım aynı görünür, ama birinci durumda fonksiyon değerlerinin arasında <, ikincisinde > vardır)

Artan f(x) = ln(x) fonksiyonunun grafiğine bak:

x₁ < x₂ olacak şekilde x₁, x₂ seçtiğimizde f(x₁) < f(x₂) olduğunu da görüyoruz. Şimdi bir başka grafiğe, bu kez örneğin (0, ∞) aralığında azalan $f(x)=\frac{1}{x}$ fonksiyonunun grafiğine bak:

Burada x₁ < x₂ olduğunda, fonksiyon değerleri için tam tersinin, yani f(x₁) > f(x₂) olduğunu görüyoruz. x₁, x₂’den küçük olmasına rağmen daha büyük bir fonksiyon değeri “üretiyor”.

Kalan tanımları da verelim:

• f fonksiyonu azalmayandır, eğer x₁ < x₂ iken f(x₁) ≤ f(x₂) ise. (Tanım artan fonksiyonunkine benzer; yalnızca fonksiyonun belirli bir kesimde sabit değer almasına izin veririz)
• f fonksiyonu artmayandır, eğer x₁ < x₂ iken f(x₁) ≥ f(x₂) ise.
• f fonksiyonu sabittir, eğer görüntü kümesi tek elemanlı bir küme ise; yani herhangi iki x₁, x₂ için f(x₁) = f(x₂) oluyorsa.

Artmayan bir fonksiyon örneği f(x) = |x|−x fonksiyonudur:

(−∞, 0) aralığında fonksiyonun azaldığına, ama kalan aralıkta sabit bir fonksiyon değeri (sıfır) aldığına dikkat et. Dolayısıyla tüm tanım kümesinde bu, artmayan bir fonksiyondur.

Çift ve Tek Fonksiyon

Bazı fonksiyonlar belirli koşullarda çift ya da tek olabilir. En kolayı fonksiyonun grafiğini bilmektir; bunu en çabuk oradan anlarsın. Çift fonksiyon y eksenine göre simetriktir, tek fonksiyon ise (0, 0) başlangıç noktasına göre simetriktir. Çift fonksiyon örneği y = x², tek fonksiyon örneği ise y = 2x fonksiyonudur. Tanımlar şöyle olurdu — f fonksiyonu

• çifttir, eğer tanım kümesindeki tüm x için f(x) = f(−x) ise,
• tektir, eğer tanım kümesindeki tüm x için −f(x) = f(−x) ise.

Çift ve tek fonksiyonlar, Çift ve Tek Fonksiyon yazısında ayrıca ele alınıyor.

Bire Bir Fonksiyon

Bire bir fonksiyonu, tüm fonksiyon değerlerinin birbirinden farklı olmasından, hiçbir fonksiyon değerinin tekrarlanmamasından tanırız. Tanım:

f fonksiyonu bire birdir, eğer tanım kümesindeki tüm x₁, x₂ için

$$x_1\ne x_2\Rightarrow f(x_1)\ne f(x_2)$$

olur.

Fonksiyonun tanım kümesinden iki farklı x seçersek, bunların fonksiyon değerleri her zaman farklı olmalıdır.

Bunu grafikten de her zamanki gibi çok basitçe anlayabilirsin. Grafiğin üzerinden x eksenine paralel bir doğru çizersen, bu doğru grafiği en fazla bir noktada kesmelidir. Bire bir fonksiyona örnek olarak doğrusal y = 3x fonksiyonu verilebilir. Hangi doğruyu alırsan al, grafiği her zaman tam bir noktada keser. Bunun tersi, örneğin, grafiği dalgalardan oluşan sinüs fonksiyonudur; x eksenine paralel ve y eksenini $\frac{1}{2}$ noktasında kesen bir doğru çizersen, grafikle sonsuz sayıda kesişim noktası bulursun, dolayısıyla bu fonksiyon bire bir değildir.

Sınırlı Fonksiyon

Fonksiyonlar sınırlı olabilir; üstten sınırlı, alttan sınırlı ya da hem üstten hem alttan sınırlı olabilir — böyle bir fonksiyona kısaca sınırlı fonksiyon deriz. f fonksiyonunun tüm değerlerinden büyük olan bir A gerçek sayısı bulabiliyorsak, f fonksiyonu üstten sınırlıdır. Alttan sınırlı fonksiyon için de benzer şekilde. Yani tanımlar:

• f fonksiyonu üstten sınırlıdır, eğer tanım kümesindeki tüm x için A > f(x) olacak şekilde bir A ∈ ℝ varsa.
• f fonksiyonu alttan sınırlıdır, eğer tanım kümesindeki tüm x için A < f(x) olacak şekilde bir A ∈ ℝ varsa.

Bunu grafik olarak şöyle hayal edebiliriz: fonksiyonun grafiğinin tamamının üstünde ya da altında kalan, x eksenine paralel bir doğru (yani yatay bir doğru) ararız.

Şekilde alttan sınırlı olan f(x) = x⁴ fonksiyonunun grafiği var. Grafiğe “en yakın” olan A’yı bulmamız hiç gerekmiyor, doğruyu grafiğin altına herhangi bir yere koymamız yeterli.

Minimum ve Maksimum

Tanım kümesinin M noktasındaki fonksiyon değeri, fonksiyonun aldığı tüm değerler arasında en büyükse, f fonksiyonunun M noktasında maksimumu vardır. Minimum için de benzer biçimde. Tanımlar:

• f fonksiyonunun tanım kümesindeki M noktasında mutlak maksimumu vardır; eğer tanım kümesindeki tüm x için f(x) ≤ f(M) ise — kısacası, fonksiyon değeri en büyük M noktasındaysa. Tek bir maksimum varsa buna kesin maksimum deriz.
• f fonksiyonunun tanım kümesindeki m noktasında mutlak minimumu vardır; eğer tanım kümesindeki tüm x için f(x) ≥ f(m) ise — fonksiyon değeri en küçük m noktasındaysa.

Grafikten fonksiyonun maksimumunu ve minimumunu büyük olasılıkla oldukça kolay bulursun; fonksiyonun en aşağıda ya da en yukarıda olduğu yere bakman yeterli. Ancak fonksiyonun ne minimumu ne de maksimumu olmayabilir, ya da yalnızca minimumu veya yalnızca maksimumu olabilir; aynı şekilde fonksiyonun yalnızca yerel ekstremumları olup tüm tanım kümesinde hiçbir ekstremumu olmayabilir.

Minimum ve maksimumları bulman gerekiyorsa türevleri kullan; yöntem adım adım fonksiyonun grafiğinin çizimi yazısında anlatılıyor.

Örnek

Aşağıdaki grafiğe göre fonksiyonun özelliklerini belirle:

• Bu fonksiyonun tanım kümesi [−4, 4] aralığıdır.
• Görüntü kümesi [−2, 4] aralığıdır.
• Fonksiyon artan olabilirmiş gibi görünse de, [0, 2] kesiminde sabit bir değer aldığı için artan olamaz. Ancak fonksiyon hiçbir aralıkta azalmadığı için, azalmayan bir fonksiyondur.
• Fonksiyonun grafiği ne y eksenine göre ne de koordinat sisteminin başlangıç noktasına göre simetriktir, dolayısıyla fonksiyon ne çift ne de tektir.
• Fonksiyon bire bir mi? Fonksiyonun [0, 2] kesiminde sabit bir değer aldığını söylemiştik, dolayısıyla fonksiyon bire bir olamaz. Farklı x değerleri için aynı y değerine sahiptir.
• Fonksiyon hem üstten hem alttan sınırlıdır. Grafiğin tamamının üstünde kalan bir yatay doğru da, altında kalan bir yatay doğru da bulabiliriz.
• Verilen fonksiyonun minimumu ve maksimumu da vardır. Minimumu m = −4 noktasında, maksimumu ise M = 4 noktasındadır.