Основи на статистиката

Статистиката е наука, която се опитва да изследва реални данни и с помощта на теорията на вероятностите се опитва да ги описва.

Отделен раздел за статистиката

Това е стара и неактуална статия, статистиката вече има свой собствен раздел с въвеждаща статия Основни понятия на статистиката.

Основни понятия

В статистиката се работи с няколко основни понятия, които ще опишем тук.

Преди всичко това е статистическата съвкупност, която е крайно множество от някакви данни, които искаме да изследваме. Данните могат да са от всякакъв вид, по същество всичко. Ако искаш да изследваш средната заплата в България, статистическата съвкупност ще е множеството на всички хора в България. Броят на елементите в статистическата съвкупност се нарича обем на съвкупността. Обемът на определената от нас статистическа съвкупност би бил равен на броя на жителите на България.

Освен това има понятието статистическа единица, което е конкретен елемент на статистическата съвкупност. В нашия случай статистическа единица би бил един конкретен човек.

Накрая имаме статистически признак, който е това, което искаме да измерваме. В нашия пример статистически признак би била заплатата. Статистическият признак може да е количествен или качествен. Количествен (квантитет = количество, брой) е признак, който може да се изрази с числа (например заплатата, ръстът, броят на децата, …), а качественият признак може да се изрази словом (цвят, да/не, професия, …).

Честоти

Честотата може да е относителна или абсолютна и показва колко стойности на дадения признак се срещат в статистическата съвкупност – или абсолютно, или относително спрямо общия брой на елементите на съвкупността.

Важно е, че при пресмятане на честота трябва да приложим статистическия признак, защото ако искаме да пресметнем абсолютната честота на статистическа единица, непременно ще стигнем или до числото нула, или до единица, защото статистическата съвкупност е множество и множеството като такова не допуска в него да има няколко еднакви елемента.

Така абсолютната честота на стойността на статистическия признак z показва броя на срещанията на признака z в статистическата съвкупност S. Пример: нека имаме клас с десет ученици. Всеки ученик е получил някаква годишна оценка по математика, от две до шест. Оценките са записани в следната таблица:

$$\begin{array}{cccccccccc}1& 2& 3& 4& 5& 6& 7& 8& 9& 10\\ 5& 2& 4& 5& 6& 6& 5& 3& 6& 4\end{array}$$

Бележка: статистическата съвкупност за този пример би била съвкупността от тези десет съученици, нещо като

$$S=\{\text{Петър},\text{Елена},\text{Иван},\dots \}$$

В таблицата за простота в първия ред имаме числов идентификатор на ученика, така в първия ред са статистическите единици, т.е. елементите на статистическата съвкупност. Във втория ред имаме стойностите на статистическия признак, т.е. стойностите „годишна оценка по математика“ на дадения ученик.

Абсолютната честота на признака (годишна оценка) z = 4 би била равна на две, само двама ученици са получили годишна оценка 4 (те са „учениците“ 3 и 10). Абсолютната честота на признака z = 6 би била три („учениците“ 5, 6 и 9).

Относителната честота показва колко процента от стойностите на признака в статистическата съвкупност са равни на стойността z. Относителната честота на признака z пресмятаме така:

$$r=\frac{z_a}{|S|},$$

където z_a е абсолютната честота на признака z и |S| е обемът на статистическата съвкупност, т.е. броят на елементите. Относителната честота на оценката четири би била:

$$r_4=\frac{2}{10}=\frac{1}{5}.$$

Обемът на нашата съвкупност е десет, защото в класа имаме десет ученици. Записът в проценти получаваме, като умножим по сто, т.е. бихме получили 20%. Относителната честота на шестицата би била

$$r_6=\frac{3}{10}.$$

Средно аритметично

Средното аритметично, или често просто средно, е средното на всички стойности в статистическата съвкупност. С думата стойност се има предвид след прилагане на статистическия признак. Средното пресмятаме, като съберем всички стойности и ги разделим на броя на стойностите в съвкупността. Приблизително така:

$$p_a=\frac{x_1+x_2+x_3+\dots +x_n}{n}=\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n{x}_i$$

Добавих и запис чрез сума, в случай че ти се стори по-четлив. Но стига и предишният израз с дроб. Стойностите x представят всички стойности на нашата съвкупност.

Пример: ще вземем данните от предишната таблица и ще пресметнем средната оценка на ученик.

$$p_a=\frac{5+2+4+5+6+6+5+3+6+4}{10}=\frac{46}{10}=4,6$$

В нашия клас средната оценка е 4,6. Както виждаш, средното аритметично може да ни върне и стойност, която всъщност изобщо не е валидна – не можеш да поставиш оценка 4,6.

Средното аритметично е трудно приложимо и в случая, когато част от данните имат коренно различна стойност от останалите данни. Така ако имаме съвкупност със стойности 1, 3, 2, 5, 4, 2, 75, средното аритметично ни се получава

$$p_a=\frac{1+3+2+5+4+2+75}{7}\approx 13,14.$$

Виждаме, че получената стойност е далеч от всички стойности в съвкупността. Няколко пъти е по-голяма от първите шест числа и няколко пъти по-малка от последната стойност. Това е проблем, който може да реши например медианата, вж. по-нататък. Поне вече знаеш защо две трети от хората не достигат средната заплата – има малка група хора с много високи заплати, които повишават средното аритметично.

Средно геометрично

Средното геометрично се пресмята подобно на средното аритметично, само че вместо събиране се използва умножение и вместо делене корен. Така средното геометрично пресмятаме по следния начин:

$$p_g=\sqrt[n]{x_1\cdot x_2\cdot x_3\cdot \dots \cdot x_n}=\sqrt[n]{\prod _{i=1}^n{x}_i}$$

Средното геометрично може да се използва като показател за растеж. Например да предположим, че цената на някакъв продукт е нараснала за година с 10%, следващата година с 15% и следващата с 5%. Първоначалната цена c така е била след тези три години на стойност

$$1,1\cdot 1,15\cdot 1,05c=\mathrm{1,328}25c.$$

Средното геометрично на тези коефициенти би било:

$$p_g=\sqrt[3]{1,1\cdot 1,15\cdot 1,05}\approx \mathrm{1,099}2419$$

Какво означава това? Че ако цената всяка година се умножаваше точно по числото 1,0992419 (т.е. се увеличаваше приблизително с 9,92%), крайната цена би била на същата стойност:

$$\mathrm{1,099}{2419}^3\approx \mathrm{1,328}25$$

Мода и медиана

Модата на признака е стойността, която има най-висока честота, означава се Mod(x). Ако се върнем към примера с оценките, то мода са стойностите 5 и 6, защото се срещат най-често – и двете имат абсолютна честота 3.

Медианата е стойността в средата, означаваме я Med(x). Ако можем да наредим стойностите в ненамаляваща редица

$$x_1\le x_2\le x_3\le \dots \le x_n,$$

то медианата представлява стойността, която е в средата на тази редица. Стойността в средата се определя различно в зависимост от това дали редицата има нечетен, или четен брой елементи. Ако е нечетен, медианата е елементът на позиция

$$\text{Med}(x)=x_{\frac{n+1}{2}}$$

Ако редицата има четен брой елементи, то няма елемент, който да е точно в средата (пример: редицата 1, 2, 3, 4 просто няма среден елемент). Затова вземаме средното аритметично на двете стойности в средата (на стойностите 2 и 3). Така формулата за четно n е:

$$\text{Med}(x)=\frac{x_{n/2}+x_{(n+2)/2}}{2}$$

Да се върнем към примера, който илюстрираше зле приложимото средно аритметично. Имахме съвкупност от стойности s=1, 3, 2, 5, 4, 2, 75. Модата би била равна на две, това е единственото число, което се повтаря. За пресмятането на медианата ще наредим числата в редица:

$$a_i=1,2,2,3,4,5,75.$$

Редицата има седем елемента, средният елемент е така a₄ и той е равен на три.