Fonksiyonun Türevi

Türev, diferansiyel hesabın temel kavramıdır; örneğin fonksiyonun grafiğini çizerken önemli rol oynar. Bir yandan öğrenciler ondan nefret eder, öte yandan türevi iyi eğitilmiş bir maymun bile hesaplar. Bu yazıda yalnızca türevin tanımı ve ilgili kavramlar anlatılıp açıklanacak. Çözümlü örnekleri yan yazılarda bulabilirsin: basit türev örnekleri ve daha zor örnekler. Türevin tersi işlem integraldir.

Türev Nedir?

Türevin tanımına geçmeden önce, türevle neyi hesapladığımızı ve bunun ne işe yarayabileceğini söyleyelim.

Fonksiyonun türeviyle teğetin eğimini elde ederiz. Kulağa epey karışık geliyor, o hâlde baştan başlayalım. Basitçe söylersek teğet, verilen grafiğe tam olarak bir noktada değen doğrudur. Bu kesin bir tanım değil — onu örneğin Vikipedi’de okuyabilirsin — ama şimdilik yeter. Şimdi şu şekle bak:

Siyah eğri y = x² fonksiyonunun grafiğidir. Mavi doğru, bu fonksiyonun kırmızıyla işaretlenmiş D(1, 1) noktasındaki teğetidir. Yeşil renkle, teğetin x ekseniyle — daha doğrusu x ekseninin pozitif yarısıyla — yaptığı α açısı gösterilmiştir. Şimdi teğetin eğimi kavramını tanımlayalım. Bu şekilde teğetin eğimi, alfa açısının tanjantıdır. Tanjant, örneğin üçgendeki açıları ve kenar uzunluklarını hesaplamamızı sağlayan klasik bir trigonometrik fonksiyondur. Yani teğetin eğimi, teğetin x ekseninin pozitif yarısıyla yaptığı açının tanjantıdır. Bu eğimi de tam olarak türev yardımıyla buluruz.

Ayrıca bir noktadaki türev ile fonksiyonun türevi kavramlarını ayırt ederiz. Bir noktadaki türev, tam olarak teğetin o noktadaki eğimidir. Fonksiyonun türevi ise genel bir x değeri için eğimleri veren başka bir fonksiyondur. Örnek aşağıda.

Motivasyon

Türev yardımıyla teğetlerin eğimlerini hesaplayabiliyoruz. Bu ne işe yarayabilir? Şu şekle bak:

Şekilde yine y = x² fonksiyonu ve işaretlenmiş dört teğet var: iki yeşil, iki mavi. y = x² fonksiyonunun (−∞,0) aralığında azalan, (0,∞) aralığında ise artan olduğuna dikkat et. Peki bu aralıklardaki teğetler, yani teğetlerin pozitif yarı eksenle yaptığı açılar için ne söylenebilir? Fonksiyonun arttığı aralığa ait noktalardan geçen mavi teğetler eksenle 90 dereceden küçük bir açı yapar. Yeşil teğetler ise eksenle 90 dereceden büyük bir açı yapar. Bu, teğetlerin eğimlerine nasıl yansır?

Bunun için tanjant fonksiyonunun davranışını bilmemiz gerekir. Aşağıdaki grafikten şunu öğreniriz: açının ölçüsü 90 dereceden küçükse tanjantın değeri pozitiftir (mavi vurgulanan kısım); açı 90 dereceden büyük ama 180 dereceden küçükse (yani pi radyandan küçükse) tanjantın değeri negatiftir. Buradan nasıl bir sonuç çıkarabiliriz? Teğetin verilen noktadaki eğimi (eğimin tam olarak açının tanjantı olduğunu unutma) pozitifse fonksiyon o noktada artandır, negatifse azalandır.

Tanım

Türevin asıl tanımına gelmeden önce uzun bir yol almamız gerekiyor. Bunun için fonksiyonun limitine ihtiyacımız olacak. Limitleri bilmiyorsan onlara geri dön ya da yalnızca formüllere göz at; sonraki anlatım muhtemelen sana göre değil.

Teğetin eğimine geçmeden önce daha kolay olan kesenin eğiminde duralım. Kesen doğrusu, grafiği iki noktada kesen doğrudur. Şimdi bu eğimi nasıl hesaplayacağımızı çıkarmaya çalışalım. Şekle bak:

Orada x² + 1 fonksiyonunun grafiği ve grafiği (0,5; 1,25) ile (2, 5) noktalarında kesen bir s kesen doğrusu var. Bu noktalar mavi renkle vurgulanmıştır. Somut değerler bizi pek ilgilendirmediği için grafikte bu değerler genel olarak a ve b ile f(a) ve f(b) biçiminde gösterilmiştir. Burada f(a), f fonksiyonunun x = a noktasındaki değeridir. Yani x² + 1 fonksiyonumuzun x = 2 noktasındaki değeri 2² + 1 = 5 olur.

Şimdi alfa ile gösterilen açıyı, yani kesen doğrusunun x ekseniyle yaptığı açıyı nasıl hesaplayacağımızı bulalım. Şekli önce biraz değiştirelim; öyle ki bir üçgen elde edelim, onunla çalışmak daha kolay olur.

Ne yaptık? Kesen doğrusunun y = x² + 1 fonksiyonunun grafiğiyle kesiştiği noktaları bir doğru parçasıyla birleştirdik ve onları bir ABC dik üçgenine tamamladık. Bu bize ne kazandırdı? β ile gösterilen açının ölçüsü α açısının ölçüsüne eşittir (bunlar yöndeş açılardır). Ayrıca AB ve BC kenarlarının uzunluklarını biliyoruz. |AB| = b − a olur (kısaca b noktasının a noktasına uzaklığı). Benzer şekilde |BC| = f(b) − f(a) olur. Peki şimdi β açısının, yani α açısının ölçüsünü nasıl hesaplarız?

Tanjantın nasıl hesaplandığını bilmek gerekir. Tanjant, karşı dik kenarın komşu dik kenara oranıdır; yani alfa (beta) açısının tanjantı, BC kenarının uzunluğunun AB kenarının uzunluğuna oranına eşittir. Bunu yazalım:

$$\text{tan}(\beta )=\frac{|BC|}{|AB|}=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}.$$

Eğim açının tanjantı olduğundan, bu formülle kesen doğrusunun eğimini hesaplamış olduk. Ama teğetin eğimini hesaplamak istediğimizde bu bize nasıl yardımcı olur? A ve C noktalarını, çakışana kadar birbirine yaklaştırdığımızı düşün. Yaklaşmayı şu şekil gösteriyor:

Üstteki kesişim noktasını alttaki kesişim noktasına ne kadar çok yaklaştırırsak, kesen doğrusu teğet olmaya o kadar yaklaşır. İlk kesen doğrusu CA teğete epey uzaktı. C noktasını A noktasına yaklaştırırsak örneğin teğete daha çok benzeyen C₁A kesenini elde ederiz. C₂A kesen doğrusu daha da çok benzer, vb.

Kesen ne zaman teğet olur? İki kesişim noktası tek noktada birleştiğinde, yani herhangi bir C_n noktası için C_n = A olduğunda. O anda kesenden teğet elde etmiş oluruz; istediğimiz de buydu. Soru, eğimi nasıl hesaplayacağımız; bu iki noktayı öylece birbirinden çıkaramayız, çünkü aynıdırlar:

$$\text{tan}(\beta )=\frac{f(a)-f(a)}{a-a}=\frac{0}{0}.$$

Bu olmaz, eğimi böyle hesaplayamayız. Bu noktaları boşuna yalnızca yaklaştırmadık. Limite ihtiyacımız olacak. Şimdi teğetin verilen (a, f(a)) noktasındaki eğimini hesaplamak istiyoruz ve olası tüm kesenlerin eğimleri elimizde (onları artık hesaplayabiliyoruz). Öyleyse kesenlerin eğimlerini sırayla hesaplayacağız ve onları teğet oluşacak biçimde yaklaştıracağız. Yani b’yi a’ya yaklaştıracağız. Noktaları eşit olacak kadar yaklaştıramayız, ama farkları limitte sıfıra yaklaşacak biçimde yaklaştırabiliriz. İşte limit! Yani b’yi, limitte eşit olana kadar a’ya yaklaştıracağız. Demek ki b, a’ya yaklaşırken limiti hesaplıyoruz. Hepsi bu, formül şöyle görünür:

$$\text{tan}(\alpha )=\underset{b\to a}{lim}\frac{f(b)-f(a)}{b-a}.$$

Bu limite f(x) fonksiyonunun x = a noktasındaki türevi deriz. α açısının β açısına eşit olduğunu hatırlatırım. Genellikle a ve b değişkenlerini kullanmayız; x₀ noktasında türev ararız ve x noktasıyla ona yaklaşırız. O zaman şöyle yazabiliriz:

$$\text{tan}(\alpha )=\underset{x\to x_0}{lim}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}.$$

Şimdiye kadar, fonksiyonun sürekliliğinde olduğu gibi, türevi yalnızca tek bir noktada tanımladık. Açık I aralığında türevlenebilir bir f(x) fonksiyonumuz varsa, bu türevin değerleri f′(x) fonksiyonunu tanımlar; ona fonksiyonun türevi deriz.

Türevi üst indekste bir çizgiyle yazarız, şöyle:

$$(x^2{)}^{\prime }=2x,f^{\prime }(x)=\dots f^{\prime }(x_0)=\dots$$

dx kullanan başka bir yazılışla da karşılaşabilirsin:

$$\frac{d}{dx}f(x)=f^{\prime }(x)$$

Az önce kullandığımız formülde tanjantı türev gösterimiyle değiştirebiliriz:

$$f^{\prime }(x_0)=\underset{x\to x_0}{lim}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}.$$

Tek taraflı limitler yardımıyla soldan ya da sağdan tek taraflı türevi de tanımlayabiliriz. Şimdilik bununla uğraşmayacağız, o kadar önemli değil.

Biraz Farklı Bir Tanım

Bir noktadaki türevin başka bir tanımı şöyle görünür:

$$f^{\prime }(a)=\underset{h\to 0}{lim}\frac{f(a+h)-f(a)}{h}.$$

Böyle bir tanıma nasıl ulaşırız? Yola çıktığımız şekli biraz değiştirmek yeter. a noktasının b noktasına uzaklığını h = b − a olarak ifade edebiliriz. Böylece b noktasını a + h olarak yazabiliriz; çünkü h, tam olarak b’nin a’ya uzaklığıdır. Şekil şöyle görünürdü:

Altta a ve a + h noktaları, y ekseninde ise f(a) ve f(a + h) var. Şimdi yine bir üçgen oluşturup beta açısının tanjantını hesaplıyoruz. Tek farkla: AB kenarının uzunluğunu zaten hesapladık, o tam olarak h’dir.

Sonlu ve Sonsuz Türev

Türevde de, fonksiyonların limitlerinde olduğu gibi, sonlu ve sonsuz türev vardır. Bu ne demek? Bir noktadaki türevin değeri bir gerçek sayıya eşitse türev sonludur. Türev artı ya da eksi sonsuza eşitse türev sonsuzdur. Bunu geometrik olarak nasıl hayal ederiz? Eğim ne zaman “sonsuz” olur? Daha kolay bir soruyla başlayalım: eğimi büyük bir sayıya eşit olan teğet nasıl görünür? Tanjant grafiğinden (yukarıya bak) tanjantın değeri yüksekse açının 90 dereceye yaklaştığı görülür ((0, 180) aralığında hareket ediyorsak).

Bundan, fonksiyonun verilen noktada sonsuz türevi varsa teğetin x ekseniyle dik açı yapacağı, yani ona dik olacağı sonucu çıkarılabilir. Gerçekten de öyle. Böyle bir fonksiyonun grafiği nasıl görünebilir ve teğet hangi noktada x eksenine dik olur? Örneğin $y=\sqrt[3]{x}$ fonksiyonu:

Temel Özellikler

• Bir fonksiyonun bir noktada türevi olması için fonksiyon o noktanın bir epsilon komşuluğunda tanımlı olmalıdır. Bu komşuluk olmazsa türevin tanımlandığı limitlere ulaşamayız.

• Limitlerin tekliği, bir noktada türev varsa onun tek olduğunu gerektirir. Hiçbir fonksiyonun bir noktada birden çok türevi yoktur. Ya bir tanedir ya da hiç yoktur.

• Tek taraflı limitlerde olduğu gibi, fonksiyonun bir noktada türevi varsa soldan ve sağdan türev eşit olmalıdır.

• Bazen ikinci türevi bilmemiz gerekir. Karmaşık bir şey değil: fonksiyonun türevini bir kez alır, sonucun türevini bir kez daha alırız. Bunu iki çizgiyle gösteririz: f''(x) = (f'(x))'.

• Önemli bir özellik: bir fonksiyonun bir noktada türevi varsa fonksiyon o noktada süreklidir. Bu da yine limitlerin özelliklerinden gelir. Bunun tersinin geçerli olmadığına dikkat et. Fonksiyon verilen noktada sürekliyse orada türevlenebilir olduğu anlamına gelmez. Tipik örnek f(x) = |x| fonksiyonudur. Grafiği sivri uçludur, bu uçta teğetin eğimi hesaplanamaz. Soldan ve sağdan türevi hesaplamayı deneyebilirsin; farklı çıkacaktır.

  

• Türev yardımıyla bazı limitlerin hesabı da yapılabilir; bunun için L’Hospital kuralı kullanılır.

Bağlantılar

Yan yazıda türevlerle çalışmak için formül listesini bulabilirsin. Başka bilgileri Vikipedi’de bulabilirsin.

Çözümlü türev örneklerine ve ardından gerekirse daha zor türev örneklerine de göz atabilirsin.

Türev hesabını hızlıca kontrol etmek istersen matematik araçlarından birini kullanabilirsin, örneğin Wolfram|Alpha. Oradaki giriş alanına (örneğin) “derive x^2+6x” yazman yeter; Wolfram verilen fonksiyonun türevlerini hesaplar.