Başlangıç Düzeyinde Türev Örnekleri

Bu yazıda önce türevle çalışırken işine yarayacak birkaç formüle bakacağız, ardından basit ve karmaşık birtakım fonksiyonların türevini almayı deneyeceğiz. Çözümlü örnek aramıyor, türevin tanımını öğrenmek istiyorsan fonksiyonun türevi yazısına geç.

Polinomların Türevi

Önce, polinom biçimindeki fonksiyonların türevini alırken gerekecek birkaç formülü hatırlayalım. Solda türevini almak istediğimiz temel fonksiyon, sağda türev aldıktan sonra elde edilen fonksiyon var. Not: c bir sabittir (ilk satır bu yüzden sabit fonksiyondur) ve x’e göre türev alıyoruz.

$\begin{array}{rcl} c^{'} & = & 0 \\ x^{'} & = & 1 \\ (x^{c})^{'} & = & c \cdot x^{c - 1} \end{array}$

Birkaç somut örnek:

$f (x) = 5$

Bu bir sabit fonksiyondur, dolayısıyla birinci formülü uygularız:

$f^{'} (x) = 0.$

Doğrusal fonksiyon f(x) = x’in türevi ikinci formüle göre

$f^{'} (x) = 1$

olur, bunun üzerinde daha fazla durmaya gerek yok. Şimdi şu fonksiyonun türevini alalım:

$f (x) = x^{5} .$

Son formülü uygularız; c yerine üssü yazarız, yani c = 5.

$f^{'} (x) = c \cdot x^{c - 1} = 5 x^{5 - 1} = 5 x^{4}$

Formül negatif üs için de geçerlidir. Yani şu fonksiyonun türevini almak istersek

$f (x) = x^{- 7},$

şunu elde ederiz:

$f^{'} (x) = c \cdot x^{c - 1} = - 7 x^{- 7 - 1} = - 7 x^{- 8} .$

Daha ilginç örnekler için fonksiyonların toplamı ve çarpımı için de formüllere ihtiyacımız olacak. Türevi alınmış fonksiyondan asıl fonksiyona geri dönmek istersek integralleri kullanırız.

Toplamın Türevi

Toplam biçiminde birkaç terim içeren bir fonksiyonun türevini hesaplamak için terimlerin türevlerini ayrı ayrı hesaplayıp ara sonuçları toplarız. Bunu şöyle yazarız:

$(f_{1} (x) + f_{2} (x))^{'} = f_{1}^{'} (x) + f_{2}^{'} (x)$

Basit bir örnek: f(x) = x + 5 olsun. Bu fonksiyonun türevi:

$f^{'} (x) = x^{'} + 5^{'} = 1 + 0 = 1.$

Fonksiyonu iki fonksiyona ayırdık:

$\begin{array}{rcl} f_{1} (x) & = & x \\ f_{2} (x) & = & 5 \end{array}$

ve sonra formülde yerine yazdık. Yani f₁ ile f₂ fonksiyonlarının türevlerini hesaplayıp sonuçları topladık. Çıkarma için de aynı şekilde çalışır. Biraz daha karmaşık bir örnek:

$f (x) = x^{3} + x - 8$

Yine üç terimin türevini ayrı ayrı alır, toplam olarak bırakırız:

$f^{'} (x) = (x^{3})^{'} + x^{'} - 8^{'} = 3 x^{2} + 1 + 0$

Çarpımın Türevi

Çarpım maalesef sıradan toplama kadar kolay çözülmez; iki fonksiyonun çarpımı için biraz karmaşık bir formül kullanmamız gerekir:

$(f (x) \cdot g (x))^{'} = f^{'} (x) \cdot g (x) + f (x) \cdot g^{'} (x)$

Çarpma içeren basit bir fonksiyon, örneğin

$s (x) = 5 \cdot x^{2}$

Çarpım formülünde iki fonksiyon var; bunları s(x) fonksiyonundan şöyle elde ederiz: f(x) = 5 ve g(x) = x². Şimdi kolayca yerine yazarız:

$s^{'} (x) = 5^{'} \cdot x^{2} + 5 \cdot (x^{2})^{'} = 0 \cdot x^{2} + 5 \cdot 2 x = 10 x$

Fonksiyon

$f (x) = a \cdot x^{c}$

biçimindeyse türev aldıktan sonra

$(a \cdot x^{c})^{'} = a \cdot (x^{c})^{'} = a \cdot c \cdot x^{c - 1}$

elde ettiğimizi görüyoruz. Bu kuralı biraz genelleştirebilir, tek terimli yerine herhangi bir fonksiyon yazabiliriz. Yani her f(x) fonksiyonu için

$(a \cdot f (x))^{'} = a \cdot f^{'} (x)$

olur.

Örnek olarak şu fonksiyonun türevini alalım:

$f (x) = 5 x^{3} - 7 x^{2} + 10$

Türev almaya başlarken önce toplam kuralını uygularız:

$f^{'} (x) = (5 x^{3})^{'} - (7 x^{2})^{'} + 10^{'} =$

Çarpım biçimindeki ifadeleri en son verdiğimiz formüle göre yazarız:

$= 5 (x^{3})^{'} - 7 (x^{2})^{'} + 10^{'} =$

Parantez içindeki ifadelerin türevini x^c için olan kurala göre alırız.

$= 5 \cdot 3 x^{2} - 7 \cdot 2 x + 0 =$

Son olarak katsayıları çarparız:

$= 15 x^{2} - 14 x .$

Bölümün Türevi

Bölümün türevi çarpımın türevinden biraz daha karmaşıktır. Formül:

${(\frac{f (x)}{g (x)})}^{'} = \frac{f^{'} (x) \cdot g (x) - f (x) \cdot g^{'} (x)}{g^{2} (x)}$

Ama yöntem çarpımdakine benzer. O hâlde hemen bir örnek:

${(\frac{x^{2} + 3 x + 1}{2 x - 1})}^{'} =$

Kesrin payı f(x) fonksiyonunu, paydası g(x) fonksiyonunu temsil eder. Şimdi formülde yerine yazalım:

$= \frac{(x^{2} + 3 x + 1)^{'} (2 x - 1) - (x^{2} + 3 x + 1) (2 x - 1)^{'}}{(2 x - 1)^{2}} =$

Paydada paydanın karesi var, pay kısmında ise kesir formüle göre açılmış durumda. Şimdi birinci ve son parantezin türevini alalım. Orada yine toplam kuralı var; onu atlayıp sonucu doğrudan yazıyorum:

$= \frac{(2 x + 3) (2 x - 1) - 2 (x^{2} + 3 x + 1)}{(2 x - 1)^{2}} = \dots$

Bu ifadeyi biraz daha sadeleştirebiliriz, ama bu bölümde bu önemli değil.

Temel Fonksiyonların Türevleri

Şimdi, ayrıntılı çıkarım yapmadan, sık karşılaşılan fonksiyonların türevi için bazı formülleri verelim.

Üstel ve logaritmik fonksiyonlar:

$\begin{array}{rcl} (c^{x})^{'} & = & c^{x} \ln c; c > 0 \\ (e^{x})^{'} & = & e^{x} \\ (\log_{a} x)^{'} & = & \frac{1}{x \cdot \ln a}; a > 0 \land a \neq 1 \\ (\ln x)^{'} & = & \frac{1}{x} \end{array}$

e^x fonksiyonunun türevinin yine e^x olduğuna dikkat et. Bu bir yazım hatası değil; sayısız şakaya temel olmuş güzel bir özelliktir.

Trigonometrik fonksiyonlar:

$\begin{array}{rcl} (\sin x)^{'} & = & \cos x \\ (\cos x)^{'} & = & - \sin x \\ (\tan x)^{'} & = & \frac{1}{\cos^{2} x} \\ (\cot x)^{'} & = & - \frac{1}{\sin^{2} x} \end{array}$

Basit bir örnek:

$(3 \sin x + 2 \ln x)^{'} =$

İki terim toplam hâlinde olduğundan bu iki ifadenin türevlerini toplamamız yeterli. Her ifadenin başında, arkasındaki fonksiyonla çarpılan bir sabit var. Bu durumda yalnızca fonksiyonun türevini alıp sabiti değiştirmememiz gerektiğini biliyoruz. Yapalım:

$= 3 (\sin x)^{'} + 2 (\ln x)^{'} =$

Bunlar artık tablodaki değerlerdir:

$= 3 \cos x + 2 \frac{1}{x} = 3 \cos x + \frac{2}{x} .$

Bileşke Fonksiyonun Türevi

Türevin özelliklerinden ve fonksiyonun seyrini incelemedeki uygulamasından biliyoruz ki, belirli koşullar altında türevlenebilir iki fonksiyonumuz olabilir ve bunların bileşkesi yine türevlenebilir bir fonksiyondur. Böyle bir bileşke fonksiyonun türevini nasıl hesaplayacağımızı göstereceğiz.

Bileşke fonksiyonun türevi, bu temel türevler arasında belki de en zor kavramdır. Fonksiyonların bileşkesini alabiliriz. Bileşke fonksiyonun ne olduğunu Fonksiyon Nedir? ya da Fonksiyonun Tanım Kümesi yazılarından ayrıntılı okuyabilirsin. Kabaca, bir fonksiyonun argümanı olarak başka bir fonksiyonu vermek demektir. Sembolik gösterimi şöyle olurdu: h(g(x)). Somut bir örnek:

$f (x) = \sin (2 x) .$

Burada hangi iki fonksiyon var? Sinüs ve içine yerleştirilmiş 2x fonksiyonu. Bu f fonksiyonuna sin(x) için olan genel formülü doğrudan uygulayamayız, çünkü o formül argümanda x olmasını varsayar, 2x değil. Bileşke fonksiyonun türevi şöyle hesaplanır:

$\begin{array}{rcl} f (x) & = & h (g (x)) \\ f^{'} (x) & = & h^{'} (g (x)) \cdot g^{'} (x) \end{array}$

Yani dış fonksiyonun türevini alır, argümanını aynen bırakır ve sonucu iç fonksiyonun türeviyle çarparız. Sinüslü örneğimizde şöyle olur:

$(\sin (2 x))^{'} = \sin^{'} (2 x) \cdot (2 x)^{'} =$

Çizginin yalnızca sinüsün üzerinde olması, artık sadece sinüsün türevini aldığımızı gösterir; eşitliğin solundaki gibi bütün ifadenin türevini almıyoruz. Sinüsün türevi kosinüs olduğundan sinüs yerine kosinüs yazarız. 2x’in türevi ise 2’dir:

$= \cos (2 x) \cdot 2 = 2 \cos (2 x) .$

Biraz daha karmaşık bir örnek daha.

$(\cos (\ln x^{2}))^{'} =$

Burada bir iç içe fonksiyon daha var. Dış fonksiyon kosinüs, ortadaki logaritma, en içteki ise kuvvet x². Yine formüle göre ilerleriz. Yazalım:

$= \cos^{'} (\ln x^{2}) \cdot (\ln x^{2})^{'} =$

Yalnızca kosinüsün türevini alırız, kosinüsün argümanını olduğu gibi, yani logaritmanın tamamını bırakırız. Bu ifadeyi sonra argümanın türeviyle, yani logaritmanın türeviyle çarparız. Kosinüsün türevini alınca:

$= - \sin (\ln x^{2}) \cdot (\ln x^{2})^{'} =$

Sağdaki ifade değişmedi, sadece kosinüsün türevini aldık. Şimdi logaritmanın türevine geçelim. Bu da bir bileşke fonksiyon olduğundan bileşke fonksiyon formülünü bir kez daha uygularız. Soldaki ifadeyi aynen yazarız:

$= - \sin (\ln x^{2}) \cdot \ln^{'} x^{2} \cdot (x^{2})^{'} =$

Logaritmanın türevini alır, argümanını aynı, yani x² bırakırız. Ama ifadenin tamamını bir de argümanın türeviyle, yani tam olarak x²’nin türeviyle çarparız. Logaritmanın türevi 1/x kesridir; burada x yerine argümanımız x²’yi yazarız, x²’nin türevi de 2x’tir.

$= - \sin (\ln x^{2}) \cdot \frac{1}{x^{2}} 2 x = - \sin (\ln x^{2}) \cdot \frac{2}{x} = - \frac{2 \sin (\ln x^{2})}{x} .$

« Önceki: Fonksiyonun Türevi

Sonraki: İleri Düzey Türev Örnekleri »