Paradoxe de la cravate

Un jour, deux amis, Lucas et Hugo, se retrouvent en vacances à Dubaï. Après quelques bouteilles de bon vin de paille, ils se mettent à parier sur celui dont la cravate est la plus chère.

Énoncé

Comme nous le savons, Lucas et Hugo se mettent à parier, après quelques bouteilles de vin, sur celui qui a la cravate la plus chère. Ils ont reçu cette cravate à Noël de leurs épouses, et ni l’un ni l’autre ne sait combien elle coûte. Les termes exacts du pari sont les suivants : chacun demande à sa femme le prix de sa cravate, et celui qui a la moins chère obtient la cravate de l’autre. Ainsi, si la cravate de Hugo est moins chère que celle de Lucas, Hugo obtient celle de Lucas. Et inversement. La première question est la suivante : l’un des deux est-il avantagé ? Est-il avantageux pour l’un d’eux de parier, ou leurs chances sont-elles exactement identiques ?

Fausse solution

Peut-être que oui. Supposons en outre que le prix des cravates soit différent ; cela ne change rien à la solution, car si le prix était identique, personne n’obtiendrait la cravate de l’autre. Calcule avec moi : Hugo a une cravate qui coûte X euros. Il ne sait rien de la cravate de Lucas et n’a aucun autre indice, donc la probabilité que la cravate de Lucas soit moins chère est de 50 %, et la probabilité qu’elle soit plus chère est également de 50 %. Ainsi, si la cravate de Hugo est plus chère, il perd X euros. Mais si elle est moins chère, il gagne plus que X euros. Les deux cas ont une probabilité de 50 % : il a 50% de chances de perdre X euros et 50% de chances de gagner plus que X euros.

À probabilités égales, Hugo peut donc gagner davantage d’argent (avec la cravate plus chère) qu’il ne peut en perdre. Cela vaut la peine ! Il semble que pour Hugo tout se présente très bien et qu’il a intérêt à parier. Il peut gagner plus qu’il ne peut perdre.

Mais, comme tu t’en doutes sans doute, Lucas peut faire exactement le même raisonnement. Lui aussi a 50% de chances de perdre sa cravate d’un prix Y et 50% de chances de gagner une cravate plus chère que Y.

Il est manifestement impossible que, pour le même pari, les deux participants soient avantagés : quelque chose doit être faux.

Solution

Commençons par noter ce que chacun peut gagner. Attribuons des prix concrets aux cravates. Supposons, pour simplifier, qu’il n’existe que deux cravates, à 120 € et 160 €. Du point de vue de Hugo, les cas suivants peuvent se présenter :

• Hugo a la cravate à 120 € et Lucas celle à 160 € → Hugo a gagné 160 €.
• Hugo a la cravate à 160 € et Lucas celle à 120 € → Hugo a perdu 160 €.

(Que les cravates aient le même prix a été exclu, mais ce n’était pas nécessaire : aucun des deux ne gagnerait alors.)

Comme on le voit, on joue toujours la même somme : Hugo peut soit gagner 160 €, soit perdre 160 €. Cela ne dépend d’ailleurs pas du prix précis : si l’on prend 10 € et 14 €, on jouera toujours 14 €. Personne n’a donc intérêt à parier (ou à ne pas parier) sans informations supplémentaires.

S’il existait trois cravates différentes, à 80 €, 120 € et 160 €, on obtiendrait un peu plus de possibilités. D’abord les gains de Hugo, puis ses pertes :

• Hugo a la cravate à 80 € et Lucas celle à 120 € → Hugo a gagné 120 €.
• Hugo a la cravate à 80 € et Lucas celle à 160 € → Hugo a gagné 160 €.
• Hugo a la cravate à 120 € et Lucas celle à 160 € → Hugo a gagné 160 €.
• Hugo a la cravate à 120 € et Lucas celle à 80 € → Hugo a perdu 120 €.
• Hugo a la cravate à 160 € et Lucas celle à 80 € → Hugo a perdu 160 €.
• Hugo a la cravate à 160 € et Lucas celle à 120 € → Hugo a perdu 160 €.

Toutes ces possibilités sont équiprobables. On voit que Hugo peut gagner exactement les sommes qu’il peut aussi perdre. Des tableaux semblables se construiraient pour un nombre encore plus grand de cravates : Hugo peut toujours perdre les sommes qu’il peut aussi gagner. Et comme toutes les possibilités sont également probables, aucun des deux participants n’est avantagé.

L’erreur principale de Hugo a été de compter avec un prix fixe pour sa cravate. Il ne peut pas le faire, car, comme le montre l’exemple à deux cravates, le prix de sa cravate en cas de défaite était différent de celui en cas de victoire. De même, dans l’exemple à trois cravates, lorsque Hugo gagne, le prix de sa cravate est tiré de l’ensemble {80 ; 120}, mais lorsqu’il perd, il est tiré de l’ensemble {120 ; 160}. Pourtant, Hugo continuait à raisonner avec un montant fixe.