Paradosso delle cravatte

Si incontrano un giorno Marco e Luca in vacanza a Dubai. Dopo un paio di bottiglie di buon vino iniziano a scommettere su chi dei due abbia la cravatta più cara.

Testo

Come già sappiamo, Marco e Luca, dopo un paio di bottiglie di vino, iniziano a scommettere su chi dei due abbia la cravatta più cara. Ognuno ha ricevuto la cravatta in regalo dalla moglie a Natale e nessuno dei due sa quanto costi. I termini esatti della scommessa sono questi: chiedono alle mogli il prezzo e chi avrà la cravatta più economica si prende la cravatta dell’altro. Cioè, se Luca ha una cravatta più economica di quella di Marco, Luca si prende la cravatta di Marco. E viceversa. La prima domanda è: qualcuno dei due è in vantaggio? Conviene a uno di loro accettare la scommessa, oppure le possibilità sono esattamente uguali per entrambi?

Pseudosoluzione

Forse sì. D’ora in poi supporremo che le cravatte abbiano prezzi diversi. Questo non cambia la soluzione, perché se i prezzi fossero uguali, nessuno si prenderebbe la cravatta di nessuno. Fai i conti con me: Luca ha una cravatta che costa X euro. Della cravatta di Marco non sa nulla e non ha nemmeno altri indizi, quindi la probabilità che ce l’abbia più economica è del 50%, e la probabilità che ce l’abbia più cara è anch’essa del 50%. Quindi, se Luca avrà la cravatta più cara, perderà X euro. Ma se avrà quella più economica, otterrà più di X euro. Entrambe le cose con probabilità del 50%: ha il 50% di probabilità di perdere X euro e il 50% di probabilità di ottenere più di X euro.

A parità di probabilità può quindi vincere più denaro (una cravatta più cara) di quanto ne possa perdere. E questo conviene! Sembra che per Luca tutto si metta molto bene e che gli convenga accettare la scommessa. Può guadagnare più di quanto possa perdere.

Ma, come probabilmente intuisci, lo stesso ragionamento può farlo anche Marco. Anche Marco ha il 50% di probabilità di perdere la sua cravatta del valore di Y e il 50% di probabilità di vincere una cravatta di valore superiore a Y.

Evidentemente non è possibile che, con la stessa scommessa, entrambi i partecipanti siano in vantaggio; qualcosa deve essere sbagliato.

Soluzione

Per prima cosa scriviamo che cosa può effettivamente vincere ciascuno. Scegliamo per le cravatte dei prezzi concreti qualsiasi. Supponiamo per semplicità che esistano solo due cravatte, da 120 e 160 euro. Allora, dal punto di vista di Luca, possono verificarsi questi casi:

• Luca ha una cravatta da 120 € e Marco da 160 € → Luca ha ottenuto 160 €.
• Luca ha una cravatta da 160 € e Marco da 120 € → Luca ha perso 160 €.

(Abbiamo escluso che avessero cravatte dello stesso prezzo, ma non sarebbe necessario: in tal caso nessuno dei due vincerebbe.)

Come si vede, la posta in gioco è sempre la stessa: Luca può o ottenere 160 €, o perdere 160 €. Naturalmente questo non dipende dal prezzo concreto: se usi le somme di 10 e 14 euro, la posta sarà sempre di 14 €. Quindi a nessuno conviene accettare (o rifiutare) la scommessa, se non ha informazioni aggiuntive.

Se avessimo in tutto tre cravatte diverse, diciamo da 80, 120 e 160 euro, otterremmo qualche possibilità in più. Prima le vincite di Luca, poi le sue perdite:

• Luca ha una cravatta da 80 € e Marco da 120 € → Luca ha ottenuto 120 €.
• Luca ha una cravatta da 80 € e Marco da 160 € → Luca ha ottenuto 160 €.
• Luca ha una cravatta da 120 € e Marco da 160 € → Luca ha ottenuto 160 €.
• Luca ha una cravatta da 120 € e Marco da 80 € → Luca ha perso 120 €.
• Luca ha una cravatta da 160 € e Marco da 80 € → Luca ha perso 160 €.
• Luca ha una cravatta da 160 € e Marco da 120 € → Luca ha perso 160 €.

Tutte le possibilità sono ugualmente probabili. Come si vede, Luca può ottenere esattamente il denaro che può allo stesso tempo perdere. Otterremmo tabelle simili per ancora più cravatte, e varrebbe sempre che Luca può perdere la somma che può allo stesso tempo ottenere. E poiché tutte le possibilità sono ugualmente probabili, nessuno dei partecipanti è in svantaggio.

L’errore principale che ha commesso Luca è stato contare su un prezzo fisso della sua cravatta. Non può farlo perché, come si vede nell’esempio con due cravatte, il prezzo della sua cravatta in caso di sconfitta era diverso dal prezzo della sua cravatta in caso di vittoria. Allo stesso modo, nell’esempio successivo con tre cravatte, quando Luca ha vinto, il prezzo della sua cravatta apparteneva all’insieme {80, 120}, ma quando ha perso, apparteneva all’insieme {120, 160}. Eppure Luca continuava a contare su una somma fissa.