Slipsparadoxen

Oscar och William träffas på semester i Dubai. Efter ett par flaskor gott vin börjar de slå vad om vem av dem som har den dyrare slipsen.

Uppgift

Som vi redan vet börjar Oscar och William efter ett par flaskor vin slå vad om vem av dem som har den dyrare slipsen. De fick slipsarna i julklapp av sina fruar och inte ens de själva vet vad slipsen kostar. Vadets exakta lydelse är följande: de frågar sina fruar om priset, och den som har den billigare slipsen får den andres slips. Alltså, om William har en billigare slips än Oscar får William Oscars slips. Och tvärtom. Den första frågan är om någon av dem har en fördel. Lönar det sig för någon av dem att gå med på vadet, eller är chanserna precis lika för båda?

Skenlösning

Kanske gör det det. Vi antar vidare att slipsarnas priser är olika. Det ändrar ingenting i lösningen, eftersom ingen skulle få någons slips om priset var detsamma. Räkna tillsammans med mig: William har en slips som kostar X kronor. Om Oscars slips vet han ingenting, och han har inte heller några andra ledtrådar, så sannolikheten att han har den billigare slipsen är 50 % och sannolikheten att han har den dyrare slipsen är också 50 %. Så om William har den dyrare slipsen förlorar han X kronor. Men om han har den billigare slipsen vinner han mer än X kronor. Båda med sannolikheten 50 %: han har 50% chans att förlora X kronor och 50% chans att vinna mer än X kronor.

Med samma sannolikhet kan han alltså vinna mer pengar (den dyrare slipsen) än han kan förlora. Och det lönar sig! Det ser ut som att allt går mycket bra för William och att det är bättre för honom att gå med på vadet. Han kan vinna mer än han kan förlora.

Men, som du säkert anar, samma resonemang kan även Oscar göra. Även Oscar har 50% chans att förlora sin slips som kostar Y och 50% chans att vinna en slips som kostar mer än Y.

Det är uppenbart inte möjligt att båda deltagarna har en fördel i samma vad; något måste vara fel.

Lösning

Först skriver vi ut vad var och en egentligen kan vinna. Vi sätter in några godtyckliga konkreta priser på slipsarna. Anta för enkelhetens skull att det bara finns två slipsar, med priserna 3000 och 4000 kronor. Då kan, ur Williams synvinkel, följande fall inträffa:

• William har en slips för 3000 och Oscar för 4000 → William vann 4000.
• William har en slips för 4000 och Oscar för 3000 → William förlorade 4000.

(Att de skulle ha slipsar med samma pris har vi uteslutit, men det hade inte varit nödvändigt — då hade ingen av dem vunnit.)

Som synes spelar man alltid om samma pengar, William kan antingen vinna 4000 eller förlora 4000. Det är förstås oberoende av de konkreta priserna: om du sätter in beloppen 250 och 350 spelar man alltid om 350 kronor. Det lönar sig alltså inte för någon att gå med på vadet (eller låta bli) om man inte har ytterligare information.

Om vi hade sammanlagt tre olika slipsar, säg för 2000, 3000 och 4000, skulle vi få lite fler möjligheter. Först Williams vinster, sedan Williams förluster:

• William har en slips för 2000 och Oscar för 3000 → William vann 3000.
• William har en slips för 2000 och Oscar för 4000 → William vann 4000.
• William har en slips för 3000 och Oscar för 4000 → William vann 4000.
• William har en slips för 3000 och Oscar för 2000 → William förlorade 3000.
• William har en slips för 4000 och Oscar för 2000 → William förlorade 4000.
• William har en slips för 4000 och Oscar för 3000 → William förlorade 4000.

Alla möjligheter är lika sannolika. Som synes kan William vinna precis de pengar som han samtidigt kan förlora. Liknande tabeller skulle vi få för ännu fler slipsar, och det skulle alltid gälla att William kan förlora de pengar som han samtidigt kan vinna. Och eftersom alla möjligheter är lika sannolika är ingen av deltagarna i underläge.

Det stora felet som William gjorde var att han räknade med ett fast pris på sin slips. Det kan han inte göra, eftersom, som exemplet med två slipsar visar, priset på hans slips om han förlorade var ett annat än priset på hans slips om han vann. På samma sätt i nästa exempel med tre slipsar — när William vann var priset på hans slips ur mängden {2000, 3000}, men när han förlorade var priset ur mängden {3000, 4000}. Ändå räknade William hela tiden med ett fast belopp.