Paradoxul cravatelor

Se întâlnesc într-o zi doi foști colegi, Mihai și Radu, în vacanță la mare. După câteva sticle de vin bun încep să parieze care dintre ei are cravata mai scumpă.

Enunț

După cum știm, Mihai și Radu încep să parieze, după câteva sticle de vin, care dintre ei are cravata mai scumpă. Cravatele le-au primit de Crăciun de la soțiile lor și nici ei înșiși nu știu cât costă. Pariul sună exact așa: își întreabă soțiile cât costă cravata, iar cel care are cravata mai ieftină primește cravata celuilalt. Adică, dacă Radu are o cravată mai ieftină decât Mihai, Radu primește cravata lui Mihai. Și invers. Prima întrebare este dacă vreunul dintre ei este avantajat. Merită vreunuia dintre ei să intre în pariu, sau șansele sunt exact aceleași pentru amândoi?

Pseudorezolvare

Poate că da. Vom presupune în continuare că prețurile cravatelor sunt diferite. Asta nu schimbă rezolvarea, pentru că, dacă prețurile ar fi egale, nimeni nu ar primi cravata nimănui. Calculează împreună cu mine: Radu are o cravată care costă X lei. Despre cravata lui Mihai nu știe nimic, nu are nici alte indicii, deci probabilitatea ca Mihai să aibă o cravată mai ieftină este 50%, iar probabilitatea să aibă una mai scumpă este tot 50%. Așadar, dacă Radu are cravata mai scumpă, pierde X lei. Dar dacă are cravata mai ieftină, câștigă mai mult de X lei. Ambele cu probabilitatea 50%: are o șansă de 50% să piardă X lei și o șansă de 50% să câștige mai mult de X lei.

La probabilități egale poate deci câștiga mai mulți bani (o cravată mai scumpă) decât poate pierde. Iar asta merită! Pare că pentru Radu lucrurile se așază foarte bine și că i-ar fi mai bine să intre în pariu. Poate câștiga mai mult decât poate pierde.

Dar, cum probabil bănuiești, același raționament îl poate face și Mihai. Și Mihai are o șansă de 50% să își piardă cravata de preț Y și o șansă de 50% să câștige o cravată de preț mai mare decât Y.

Evident, este imposibil ca, la același pariu, ambii participanți să fie avantajați; ceva nu este în regulă.

Rezolvare

Mai întâi să scriem ce poate câștiga fiecare. Vom înlocui prețurile cravatelor cu valori concrete oarecare. Să presupunem, pentru simplitate, că există doar două cravate, de prețuri 600 și 800 de lei. Atunci, din punctul de vedere al lui Radu, pot apărea aceste cazuri:

• Radu are o cravată de 600 și Mihai una de 800 → Radu a câștigat 800.
• Radu are o cravată de 800 și Mihai una de 600 → Radu a pierdut 800.

(Am exclus cazul în care ar avea cravate de același preț, dar nici nu ar fi nevoie – atunci niciunul nu ar câștiga.)

După cum se vede, se joacă întotdeauna pentru aceeași sumă, Radu poate fie să câștige 800, fie să piardă 800. Desigur, asta nu depinde de prețul concret; dacă înlocuiești sumele cu 50 și 70, se va juca întotdeauna pentru 70 de lei. Așadar nimănui nu îi folosește să intre (sau să nu intre) în pariu, dacă nu are informații suplimentare.

Dacă am avea în total trei cravate diferite, să zicem de 400, 600 și 800 de lei, am obține ceva mai multe posibilități. Mai întâi câștigurile lui Radu, apoi pierderile lui Radu:

• Radu are o cravată de 400 și Mihai una de 600 → Radu a câștigat 600.
• Radu are o cravată de 400 și Mihai una de 800 → Radu a câștigat 800.
• Radu are o cravată de 600 și Mihai una de 800 → Radu a câștigat 800.
• Radu are o cravată de 600 și Mihai una de 400 → Radu a pierdut 600.
• Radu are o cravată de 800 și Mihai una de 400 → Radu a pierdut 800.
• Radu are o cravată de 800 și Mihai una de 600 → Radu a pierdut 800.

Toate posibilitățile sunt la fel de probabile. După cum se vede, Radu poate câștiga exact aceiași bani pe care îi poate și pierde. Am obține tabele asemănătoare pentru și mai multe cravate; ar fi mereu adevărat că Radu poate pierde aceeași sumă pe care o poate câștiga. Și, cum toate posibilitățile sunt la fel de probabile, niciunul dintre participanți nu este dezavantajat.

Greșeala principală a lui Radu a fost că a considerat fix prețul cravatei sale. Nu are voie să facă asta, pentru că, după cum se vede la exemplul cu două cravate, prețul cravatei lui în caz de pierdere era altul decât în caz de câștig. La fel, în exemplul următor, cu trei cravate – când Radu a câștigat, prețul cravatei lui era din mulțimea {400, 600}, dar când a pierdut, prețul era din mulțimea {600, 800}. Radu a lucrat însă tot timpul cu o sumă fixă.