A nyakkendőparadoxon

Összefut egyszer Pista és Gyuri nyaralás közben Dubajban. Néhány üveg jó bor után fogadni kezdenek, kinek drágább a nyakkendője.

A feladat

Ahogy már tudjuk, Pista és Gyuri néhány üveg bor után fogadni kezdenek, kinek drágább a nyakkendője. Ezt a nyakkendőt karácsonyra kapták a feleségüktől, és maguk sem tudják, mennyibe kerül. A fogadás pontos szövege a következő: megkérdezik a feleségüket az árról, és aki olcsóbb nyakkendőt visel, megkapja a másik nyakkendőjét. Vagyis ha Pistának olcsóbb a nyakkendője, mint Gyurinak, Pista megkapja Gyuri nyakkendőjét. És fordítva. Az első kérdés: van-e valamelyikük előnyben? Megéri-e valamelyiküknek belemenni a fogadásba, vagy mindkettőjük esélyei teljesen egyformák?

Álmegoldás

Talán igen. A továbbiakban feltesszük, hogy a nyakkendők ára különböző. Ez nem változtat a megoldáson, mert ha az ár azonos lenne, senki sem kapná meg senki nyakkendőjét. Számolj velem: Pista nyakkendője X forintba kerül. Gyuri nyakkendőjéről semmit sem tud, más támpontja sincs, ezért annak a valószínűsége, hogy neki olcsóbb a nyakkendője, 50%, annak a valószínűsége, hogy drágább, szintén 50%. Ha tehát Pistának drágább a nyakkendője, X forintot veszít. De ha olcsóbb a nyakkendője, több mint X forintot nyer. Mindkettő 50% valószínűséggel: 50% az esélye, hogy X forintot veszít, és 50% az esélye, hogy több mint X forintot nyer.

Egyenlő valószínűség mellett tehát több pénzt nyerhet (drágább nyakkendőt), mint amennyit veszíthet. És ez megéri! Úgy tűnik, Pista számára minden nagyon szépen alakul, és jobb lesz neki, ha belemegy a fogadásba. Többet nyerhet, mint amennyit veszíthet.

Csakhogy, ahogy bizonyára sejted, ugyanezt az okoskodást Gyuri is végigviheti. Gyurinak is 50% az esélye, hogy elveszíti Y értékű nyakkendőjét, és 50% az esélye, hogy több mint Y értékű nyakkendőt nyer.

Nyilvánvalóan nem lehetséges, hogy azonos tét mellett mindkét résztvevő előnyben legyen; valami nincs rendben.

A megoldás

Először felírjuk, hogy ki mit nyerhet. Behelyettesítünk tetszőleges konkrét nyakkendőárakat. Tegyük fel az egyszerűség kedvéért, hogy csak két nyakkendő létezik, 3000 és 4000 forint értékben. Pista szemszögéből ekkor a következő esetek állhatnak elő:

• Pista nyakkendője 3000 forintos, Gyurié 4000 forintos → Pista nyert 4000 forintot.
• Pista nyakkendője 4000 forintos, Gyurié 3000 forintos → Pista veszített 4000 forintot.

(Azt, hogy a nyakkendőik ára azonos legyen, kizártuk, de nem lett volna szükséges – akkor egyikük sem nyert volna.)

Mint látható, mindig ugyanakkora pénzről folyik a játék: Pista vagy nyer 4000 forintot, vagy veszít 4000 forintot. Ez természetesen független a konkrét ártól, ha a 2500 és a 3500 forintos árat helyettesíted be, mindig 3500 forint lesz a tét. A fogadásba tehát senkinek sem éri meg belemenni (vagy kimaradni belőle), ha nincs további információja.

Ha összesen három különböző nyakkendőnk lenne, mondjuk 2000, 3000 és 4000 forintosak, valamivel több lehetőséget kapnánk. Először Pista nyereményei, utána Pista veszteségei:

• Pista nyakkendője 2000 forintos, Gyurié 3000 forintos → Pista nyert 3000 forintot.
• Pista nyakkendője 2000 forintos, Gyurié 4000 forintos → Pista nyert 4000 forintot.
• Pista nyakkendője 3000 forintos, Gyurié 4000 forintos → Pista nyert 4000 forintot.
• Pista nyakkendője 3000 forintos, Gyurié 2000 forintos → Pista veszített 3000 forintot.
• Pista nyakkendője 4000 forintos, Gyurié 2000 forintos → Pista veszített 4000 forintot.
• Pista nyakkendője 4000 forintos, Gyurié 3000 forintos → Pista veszített 4000 forintot.

Az összes lehetőség egyformán valószínű. Mint látható, Pista pontosan annyi pénzt nyerhet, amennyit veszíthet is. Még több nyakkendőre hasonló táblázatokat kapnánk, mindig az lenne az eredmény, hogy Pista annyi pénzt veszíthet, amennyit nyerhet is. És mivel az összes lehetőség egyformán valószínű, egyik résztvevő sincs hátrányban.

A fő hiba, amelyet Pista elkövetett, az volt, hogy a nyakkendője árát rögzítettnek vette. Ezt nem teheti, mert, ahogy a két nyakkendős példán látszik, a nyakkendője ára veszteség esetén más volt, mint nyerés esetén. Hasonlóan a három nyakkendős példában – amikor Pista nyert, a nyakkendője ára a {2000, 3000} halmazból került ki, de amikor veszített, az ár a {3000, 4000} halmazból volt. Pista közben végig rögzített összeggel számolt.