Krawatten-Paradoxon

Treffen sich Max und Moritz im Urlaub in Dubai. Nach ein paar Flaschen guten Weins fangen sie an zu wetten, wer von ihnen die teurere Krawatte hat.

Aufgabe

Wie wir schon wissen, wetten Max und Moritz nach ein paar Flaschen Wein darum, wer von ihnen die teurere Krawatte hat. Die Krawatte haben beide zu Weihnachten von ihren Frauen bekommen und wissen selbst nicht, was sie kostet. Der genaue Wortlaut der Wette ist folgender: Sie fragen ihre Frauen nach dem Preis, und wer die billigere Krawatte hat, bekommt die Krawatte des anderen. Hat also Moritz eine billigere Krawatte als Max, bekommt Moritz die Krawatte von Max. Und umgekehrt. Die erste Frage lautet: Ist einer von beiden im Vorteil? Lohnt sich die Wette für einen von ihnen, oder sind die Chancen für beide völlig gleich?

Scheinlösung

Vielleicht schon. Wir nehmen im Folgenden an, dass die Preise der Krawatten verschieden sind. An der Lösung ändert das nichts, denn bei gleichem Preis würde niemand die Krawatte des anderen bekommen. Rechne mit mir: Moritz hat eine Krawatte, die X Euro kostet. Über die Krawatte von Max weiß er nichts, er hat auch keine anderen Hinweise, deshalb beträgt die Wahrscheinlichkeit, dass er die billigere Krawatte hat, 50 %, und die Wahrscheinlichkeit, dass er die teurere Krawatte hat, ist ebenfalls 50 %. Wenn Moritz also die teurere Krawatte hat, verliert er X Euro. Wenn er aber die billigere Krawatte hat, gewinnt er mehr als X Euro. Beides jeweils mit der Wahrscheinlichkeit 50 %: Er hat eine Chance von 50 %, X Euro zu verlieren, und eine Chance von 50 %, mehr als X Euro zu gewinnen.

Bei gleicher Wahrscheinlichkeit kann er also mehr Geld gewinnen (die teurere Krawatte), als er verlieren kann. Und das lohnt sich! Es sieht so aus, als entwickle sich für Moritz alles sehr schön und als sei es für ihn besser, die Wette einzugehen. Er kann mehr gewinnen, als er verlieren kann.

Aber wie du wahrscheinlich schon ahnst, kann dieselbe Überlegung auch Max anstellen. Auch Max hat eine Chance von 50 %, seine Krawatte im Wert von Y zu verlieren, und eine Chance von 50 %, eine Krawatte im Wert von mehr als Y zu gewinnen.

Offensichtlich ist es nicht möglich, dass bei derselben Wette beide Teilnehmer im Vorteil sind; irgendetwas muss falsch sein.

Lösung

Zuerst schreiben wir auf, was jeder eigentlich gewinnen kann. Wir setzen beliebige konkrete Preise der Krawatten ein. Nehmen wir der Einfachheit halber an, dass es nur zwei Krawatten gibt, mit den Preisen 120 und 160 Euro. Dann können aus Sicht von Moritz diese Fälle eintreten:

• Moritz hat eine Krawatte für 120 und Max für 160 → Moritz hat 160 gewonnen.
• Moritz hat eine Krawatte für 160 und Max für 120 → Moritz hat 160 verloren.

(Dass sie Krawatten zum gleichen Preis hätten, haben wir ausgeschlossen, es wäre aber nicht nötig – dann würde keiner von beiden gewinnen.)

Wie man sieht, wird immer um das gleiche Geld gespielt: Moritz kann entweder 160 gewinnen oder 160 verlieren. Das ist natürlich unabhängig vom konkreten Preis; wenn du die Beträge 10 und 14 einsetzt, wird immer um 14 Euro gespielt. Es lohnt sich also für niemanden, die Wette einzugehen (oder nicht einzugehen), wenn er keine zusätzlichen Informationen hat.

Hätten wir insgesamt drei verschiedene Krawatten, sagen wir für 80, 120 und 160 Euro, bekämen wir etwas mehr Möglichkeiten. Zuerst die Gewinne von Moritz, danach seine Verluste:

• Moritz hat eine Krawatte für 80 und Max für 120 → Moritz hat 120 gewonnen.
• Moritz hat eine Krawatte für 80 und Max für 160 → Moritz hat 160 gewonnen.
• Moritz hat eine Krawatte für 120 und Max für 160 → Moritz hat 160 gewonnen.
• Moritz hat eine Krawatte für 120 und Max für 80 → Moritz hat 120 verloren.
• Moritz hat eine Krawatte für 160 und Max für 80 → Moritz hat 160 verloren.
• Moritz hat eine Krawatte für 160 und Max für 120 → Moritz hat 160 verloren.

Alle Möglichkeiten sind gleich wahrscheinlich. Wie man sieht, kann Moritz genau das Geld gewinnen, das er auch verlieren kann. Ähnliche Tabellen bekämen wir für noch mehr Krawatten, immer würde gelten, dass Moritz genau das Geld verlieren kann, das er auch gewinnen kann. Und weil alle Möglichkeiten gleich wahrscheinlich sind, ist keiner der Teilnehmer im Nachteil.

Der Hauptfehler von Moritz war, dass er mit einem festen Preis seiner Krawatte gerechnet hat. Das darf er nicht, denn wie man am Beispiel mit zwei Krawatten sieht, war der Preis seiner Krawatte im Verlustfall ein anderer als im Gewinnfall. Ähnlich im nächsten Beispiel mit drei Krawatten – als Moritz gewann, stammte der Preis seiner Krawatte aus der Menge {80; 120}, aber als er verlor, stammte der Preis aus der Menge {120; 160}. Dabei rechnete Moritz weiter mit einem festen Betrag.