Paradoxo da gravata

Dois amigos, João e Pedro, se encontram de férias em Fortaleza. Depois de um churrasco animado, eles começam a apostar sobre quem tem a gravata mais cara.

Enunciado

Como já sabemos, depois do churrasco João e Pedro começam a apostar sobre quem tem a gravata mais cara. Eles ganharam essas gravatas de presente de Natal de suas esposas e nem eles mesmos sabem quanto a gravata custa. O texto exato da aposta é este: eles perguntam às esposas o preço e quem tiver a gravata mais barata fica com a gravata do outro. Ou seja, se o Pedro tem uma gravata mais barata que a do João, o Pedro fica com a gravata do João. E vice-versa. A primeira pergunta é: alguém está em vantagem? Vale a pena para algum deles entrar na aposta, ou as chances são exatamente iguais para os dois?

Uma solução enganosa

Talvez sim. Vamos supor daqui em diante que os preços das gravatas são diferentes. Isso não muda nada na solução, porque, se o preço fosse o mesmo, ninguém ficaria com a gravata de ninguém. Acompanhe o meu raciocínio: o Pedro tem uma gravata que custa X reais. Sobre a gravata do João ele não sabe nada, nem tem outras pistas, então a probabilidade de o João ter uma gravata mais barata é 50%, e a probabilidade de ele ter uma gravata mais cara também é 50%. Assim, se o Pedro tiver a gravata mais cara, ele perde X reais. Mas, se tiver a gravata mais barata, ganha mais do que X reais. Ambos com probabilidade 50%: ele tem 50% de chance de perder X reais e 50% de chance de ganhar mais do que X reais.

Com a mesma probabilidade, ele pode ganhar mais dinheiro (uma gravata mais cara) do que pode perder. E isso compensa! Parece que, para o Pedro, tudo se encaminha muito bem e que será melhor para ele entrar na aposta. Ele pode ganhar mais do que pode perder.

Só que, como você provavelmente já desconfia, o mesmo raciocínio pode ser feito também pelo João. Também o João tem 50% de chance de perder a sua gravata no valor de Y e 50% de chance de ganhar uma gravata no valor de mais de Y.

Evidentemente, não é possível que, em uma mesma aposta, os dois participantes estejam em vantagem; algo deve estar errado.

Solução

Primeiro vamos escrever o que cada um pode realmente ganhar. Vamos atribuir às gravatas preços concretos quaisquer. Suponha, para simplificar, que existam apenas duas gravatas, com os preços de 30 e 40 reais. Então, do ponto de vista do Pedro, podem ocorrer estes casos:

• O Pedro tem uma gravata de 30 e o João de 40 → o Pedro ganhou 40.
• O Pedro tem uma gravata de 40 e o João de 30 → o Pedro perdeu 40.

(Excluímos a possibilidade de as gravatas terem o mesmo preço, mas isso não seria necessário — então nenhum dos dois ganharia.)

Como vemos, a aposta é sempre pelo mesmo dinheiro: o Pedro pode ou ganhar 40 ou perder 40. Claro que isso independe do preço concreto: se você substituir ali os valores 25 e 35, o jogo será sempre por 35 reais. Assim, não vale a pena para ninguém entrar na aposta (ou não entrar), se não tem informações adicionais.

Se tivéssemos três gravatas diferentes, digamos de 20, 30 e 40, teríamos um pouco mais de possibilidades. Primeiro as vitórias do Pedro, depois as derrotas do Pedro:

• O Pedro tem uma gravata de 20 e o João de 30 → o Pedro ganhou 30.
• O Pedro tem uma gravata de 20 e o João de 40 → o Pedro ganhou 40.
• O Pedro tem uma gravata de 30 e o João de 40 → o Pedro ganhou 40.
• O Pedro tem uma gravata de 30 e o João de 20 → o Pedro perdeu 30.
• O Pedro tem uma gravata de 40 e o João de 20 → o Pedro perdeu 40.
• O Pedro tem uma gravata de 40 e o João de 30 → o Pedro perdeu 40.

Todas as possibilidades são igualmente prováveis. Como vemos, o Pedro pode ganhar exatamente o dinheiro que pode perder ao mesmo tempo. Obteríamos tabelas parecidas para ainda mais gravatas, e sempre valeria que o Pedro pode perder o dinheiro que pode ganhar ao mesmo tempo. E, como todas as possibilidades são igualmente prováveis, nenhum dos participantes está em desvantagem.

O principal erro que o Pedro cometeu foi contar com um preço fixo da sua gravata. Ele não pode fazer isso, porque, como vemos no exemplo com duas gravatas, o preço da gravata dele no caso de derrota era diferente do preço da gravata dele no caso de vitória. Da mesma forma, no exemplo seguinte, com três gravatas: quando o Pedro ganhou, o preço da gravata dele estava no conjunto {20, 30}, mas, quando perdeu, o preço estava no conjunto {30, 40}. E, mesmo assim, o Pedro continuou contando com um valor fixo.