Slipseparadokset

En dag mødes Oscar og William på ferie i Dubai. Efter et par flasker god vin begynder de at vædde om, hvem af dem der har det dyreste slips.

Opgaven

Som vi allerede ved, begynder Oscar og William efter et par flasker vin at vædde om, hvem af dem der har det dyreste slips. De fik slipsene i julegave af deres koner, og ingen af dem ved selv, hvad slipset koster. Væddemålets præcise ordlyd er: de spørger deres koner om prisen, og den, der har det billigste slips, får den andens slips. Hvis William har et billigere slips end Oscar, får William altså Oscars slips. Og omvendt. Det første spørgsmål er, om en af dem har en fordel? Kan det betale sig for en af dem at gå ind i væddemålet, eller er chancerne helt ens for begge?

Pseudoløsningen

Måske ja. Vi antager i det følgende, at slipsene har forskellige priser. Det ændrer ikke noget ved løsningen, for hvis prisen var den samme, ville ingen få den andens slips. Regn med mig: William har et slips, der koster X kroner. Om Oscars slips ved han ikke noget, han har heller ingen andre indikationer, så sandsynligheden for, at han har det billigste slips, er 50 %, og sandsynligheden for, at han har den dyreste, er også 50 %. Så hvis William har det dyreste slips, mister han X kroner. Men hvis han har det billigste slips, får han mere end X kroner. Begge dele med sandsynligheden 50 %: han har 50% chance for at miste X kroner og 50% chance for at få mere end X kroner.

Med den samme sandsynlighed kan han altså vinde flere penge (det dyrere slips), end han kan tabe. Og det kan betale sig! Det ser ud til, at alt udvikler sig meget pænt for William, og at det vil være bedre for ham at gå ind i væddemålet. Han kan vinde mere, end han kan miste.

Men som du sikkert allerede har gættet, kan Oscar gennemføre den samme overvejelse. Også Oscar har 50% chance for at miste sit slips til en pris på Y og 50% chance for at vinde et slips til en pris på mere end Y.

Det er tydeligvis ikke muligt, at begge deltagere i samme væddemål har en fordel; noget må være galt.

Løsningen

Først skriver vi op, hvad hver af dem egentlig kan vinde. Vi indsætter vilkårlige konkrete priser på slipsene. Lad os for enkelhedens skyld antage, at der kun findes to slips, til priserne 3000 og 4000 kroner. Så kan følgende tilfælde indtræffe set fra Williams side:

• William har et slips til 3000 og Oscar til 4000 → William vandt 4000.
• William har et slips til 4000 og Oscar til 3000 → William tabte 4000.

(At de skulle have slips til den samme pris, har vi udelukket, men det ville ikke være nødvendigt — så ville ingen af dem have vundet.)

Som det ses, spiller de altid om de samme penge, William kan enten vinde 4000 eller tabe 4000. Det er selvfølgelig uafhængigt af den konkrete pris, hvis du indsætter beløbene 250 og 350, vil der altid blive spillet om 350 kroner. Det kan altså ikke betale sig for nogen at gå ind i væddemålet (eller lade være), hvis man ikke har yderligere oplysninger.

Hvis vi havde i alt tre forskellige slips, lad os sige til 2000, 3000 og 4000, ville vi få lidt flere muligheder. Først Williams gevinster, derefter Williams tab:

• William har et slips til 2000 og Oscar til 3000 → William vandt 3000.
• William har et slips til 2000 og Oscar til 4000 → William vandt 4000.
• William har et slips til 3000 og Oscar til 4000 → William vandt 4000.
• William har et slips til 3000 og Oscar til 2000 → William tabte 3000.
• William har et slips til 4000 og Oscar til 2000 → William tabte 4000.
• William har et slips til 4000 og Oscar til 3000 → William tabte 4000.

Alle muligheder er lige sandsynlige. Som det ses, kan William vinde præcis de penge, som han samtidig kan tabe. Vi ville få lignende tabeller for endnu flere slips, og det ville altid gælde, at William kan tabe sådanne penge, som han samtidig kan vinde. Og da alle muligheder er lige sandsynlige, er ingen af deltagerne dårligere stillet.

Den store fejl, William begik, var, at han regnede med en fast pris på sit slips. Det kan han ikke, for som det ses i eksemplet med to slips, var prisen på hans slips i tilfælde af tab en anden end prisen på hans slips i tilfælde af gevinst. Ligeså i det næste eksempel med tre slips — da William vandt, var prisen på hans slips fra mængden {2000, 3000}, men da han tabte, var prisen fra mængden {3000, 4000}. Alligevel regnede William hele tiden med et fast beløb.