Paradoja de la corbata

Se encuentran un día Hugo y Martín de vacaciones en Dubái. Tras un par de botellas de buen vino empiezan a apostar a ver quién de los dos tiene la corbata más cara.

Enunciado

Como ya sabemos, Hugo y Martín, tras un par de botellas de vino, empiezan a apostar a ver quién de ellos tiene la corbata más cara. Cada uno recibió la corbata de su mujer por Navidad y ninguno de los dos sabe cuánto cuesta. El texto exacto de la apuesta es este: preguntan a sus mujeres el precio y quien tenga la corbata más barata se queda con la corbata del otro. Es decir, si Hugo tiene una corbata más barata que la de Martín, Hugo se queda con la corbata de Martín. Y al revés. La primera pregunta es si alguno de ellos está en ventaja. ¿Le conviene a alguno de ellos entrar en la apuesta, o las posibilidades son exactamente las mismas para los dos?

Pseudosolución

Quizá sí. Supondremos además que el precio de las corbatas es distinto. Esto no cambia la solución, porque si el precio fuera igual, nadie se quedaría con la corbata de nadie. Haz las cuentas conmigo: Hugo tiene una corbata que cuesta X euros. De la corbata de Martín no sabe nada ni tiene ninguna otra pista, así que la probabilidad de que la tenga más barata es del 50 % y la probabilidad de que la tenga más cara es también del 50 %. Así que, si Hugo tiene la corbata más cara, perderá X euros. Pero si tiene la más barata, ganará más de X euros. Ambas cosas con probabilidad 50 %: tiene un 50% de probabilidad de perder X euros y un 50% de ganar más de X euros.

Con la misma probabilidad puede, pues, ganar más dinero (una corbata más cara) del que puede perder. ¡Y eso compensa! Parece que a Hugo todo le va muy bien y que le conviene entrar en la apuesta. Puede ganar más de lo que puede perder.

Pero, como probablemente sospechas, el mismo razonamiento puede hacerlo también Martín. También Martín tiene un 50% de probabilidad de perder su corbata, de precio Y, y un 50% de probabilidad de ganar una corbata de precio superior a Y.

Evidentemente no es posible que, con la misma apuesta, ambos participantes estén en ventaja; algo tiene que estar mal.

Solución

Primero escribimos qué puede ganar realmente cada uno. Asignamos a las corbatas unos precios concretos cualesquiera. Supongamos, para simplificar, que solo existen dos corbatas, de precios 120 € y 160 €. Entonces, desde el punto de vista de Hugo, pueden darse estos casos:

• Hugo tiene una corbata de 120 € y Martín una de 160 € → Hugo ha ganado 160 €.
• Hugo tiene una corbata de 160 € y Martín una de 120 € → Hugo ha perdido 160 €.

(Hemos descartado que tuvieran corbatas del mismo precio, pero no sería necesario: entonces ninguno de ellos ganaría nada.)

Como vemos, se juega siempre por el mismo dinero: Hugo puede ganar 160 € o perder 160 €. Por supuesto, esto es independiente del precio concreto: si usas las cantidades 10 € y 14 €, se jugará siempre por 14 €. Así que a nadie le conviene entrar (ni dejar de entrar) en la apuesta si no dispone de información adicional.

Si tuviéramos tres corbatas distintas en total, digamos de 80 €, 120 € y 160 €, obtendríamos algunas posibilidades más. Primero las ganancias de Hugo y después sus pérdidas:

• Hugo tiene una corbata de 80 € y Martín una de 120 € → Hugo ha ganado 120 €.
• Hugo tiene una corbata de 80 € y Martín una de 160 € → Hugo ha ganado 160 €.
• Hugo tiene una corbata de 120 € y Martín una de 160 € → Hugo ha ganado 160 €.
• Hugo tiene una corbata de 120 € y Martín una de 80 € → Hugo ha perdido 120 €.
• Hugo tiene una corbata de 160 € y Martín una de 80 € → Hugo ha perdido 160 €.
• Hugo tiene una corbata de 160 € y Martín una de 120 € → Hugo ha perdido 160 €.

Todas las posibilidades son igualmente probables. Como vemos, Hugo puede ganar exactamente el dinero que a la vez puede perder. Obtendríamos tablas parecidas para todavía más corbatas; siempre ocurriría que Hugo puede perder el dinero que a la vez puede ganar. Y como todas las posibilidades son igualmente probables, ninguno de los participantes está en desventaja.

El error principal que cometió Hugo fue contar con un precio fijo de su corbata. No puede hacerlo porque, como se ve en el ejemplo con dos corbatas, el precio de su corbata en caso de perder era distinto del precio de su corbata en caso de ganar. De forma parecida, en el ejemplo siguiente con tres corbatas, cuando Hugo ganó, el precio de su corbata pertenecía al conjunto {80, 120}, pero cuando perdió, pertenecía al conjunto {120, 160}. Y, sin embargo, Hugo seguía contando con una cantidad fija.