Slipsparadokset

En gang møtes Jakob og Henrik på ferie i Spania. Etter noen flasker god rødvin begynner de å vedde på hvem av dem som har det dyreste slipset.

Oppgaven

Som vi allerede vet, begynner Jakob og Henrik etter noen flasker vin å vedde på hvem av dem som har det dyreste slipset. De fikk slipsene i julegave av konene sine, og ingen av dem vet selv hva slipset koster. Det nøyaktige veddemålet lyder slik: De spør konene om prisen, og den som har det billigste slipset, får slipset til den andre. Altså hvis Jakob har et billigere slips enn Henrik, får Jakob Henriks slips. Og omvendt. Det første spørsmålet er om noen av dem har en fordel. Lønner det seg for noen av dem å være med på veddemålet, eller er sjansene helt like for begge?

Pseudoløsning

Kanskje det. Vi antar videre at prisene på slipsene er ulike. Det forandrer ikke noe ved løsningen, for hvis prisen var den samme, ville ingen av dem fått den andres slips. Regn sammen med meg: Jakob har et slips som koster X kroner. Om Henriks slips vet han ingenting, han har heller ingen andre ledetråder, så sannsynligheten for at han har det billigste slipset, er 50 %, og sannsynligheten for at han har det dyreste slipset, er også 50 %. Så hvis Jakob har det dyreste slipset, mister han X kroner. Men hvis han har det billigste slipset, får han mer enn X kroner. Begge deler med sannsynlighet 50 %: Han har 50% sjanse for å miste X kroner og 50% sjanse for å få mer enn X kroner.

Med lik sannsynlighet kan han altså vinne mer penger (det dyrere slipset) enn han kan tape. Og det lønner seg! Det ser ut til at alt utvikler seg veldig fint for Jakob, og at det er best for ham å være med på veddemålet. Han kan vinne mer enn han kan tape.

Men, som du sikkert aner, kan Henrik gjøre det samme resonnementet. Også Henrik har 50% sjanse for å miste slipset sitt, som koster Y, og 50% sjanse for å vinne et slips som koster mer enn Y.

Det er åpenbart ikke mulig at begge deltakerne har en fordel i det samme veddemålet; noe må være galt.

Løsning

Først skriver vi ut hva hver av dem faktisk kan vinne. Vi setter inn vilkårlige konkrete priser på slipsene. For enkelhets skyld antar vi at det bare finnes to slips, til prisene 3000 og 4000 kroner. Da kan følgende tilfeller inntreffe, sett fra Jakobs side:

• Jakob har et slips til 3000 og Henrik til 4000 → Jakob fikk 4000.
• Jakob har et slips til 4000 og Henrik til 3000 → Jakob tapte 4000.

(At de skulle ha slips til samme pris, har vi utelukket, men det ville ikke vært nødvendig — da ville ingen av dem vunnet noe.)

Som vi ser, spilles det alltid om de samme pengene, Jakob kan enten få 4000 eller tape 4000. Selvsagt er det uavhengig av den konkrete prisen, hvis du setter inn beløpene 250 og 350, spilles det alltid om 350 kroner. Det lønner seg altså ikke for noen å være med (eller la være) på veddemålet hvis han ikke har tilleggsinformasjon.

Hvis vi hadde til sammen tre ulike slips, la oss si til 2000, 3000 og 4000, ville vi fått litt flere muligheter. Først Jakobs gevinster, deretter Jakobs tap:

• Jakob har et slips til 2000 og Henrik til 3000 → Jakob fikk 3000.
• Jakob har et slips til 2000 og Henrik til 4000 → Jakob fikk 4000.
• Jakob har et slips til 3000 og Henrik til 4000 → Jakob fikk 4000.
• Jakob har et slips til 3000 og Henrik til 2000 → Jakob tapte 3000.
• Jakob har et slips til 4000 og Henrik til 2000 → Jakob tapte 4000.
• Jakob har et slips til 4000 og Henrik til 3000 → Jakob tapte 4000.

Alle mulighetene er like sannsynlige. Som vi ser, kan Jakob få nøyaktig de pengene han samtidig kan tape. Lignende tabeller ville vi fått for enda flere slips, og alltid ville det gjelde at Jakob kan tape de pengene han samtidig kan få. Og siden alle mulighetene er like sannsynlige, er ingen av deltakerne i ulempe.

Hovedfeilen Jakob gjorde, var at han regnet med en fast pris på slipset sitt. Det kan han ikke gjøre, for, som vi ser i eksemplet med to slips, var prisen på slipset hans i tilfellet tap en annen enn prisen på slipset hans i tilfellet gevinst. På samme måte i det neste eksemplet med tre slips — da Jakob vant, var prisen på slipset hans fra mengden {2000, 3000}, men da han tapte, var prisen fra mengden {3000, 4000}. Likevel regnet Jakob hele tiden med et fast beløp.