Solmioparadoksi

Kerran Pekka ja Eino tapaavat lomalla Kanarialla. Muutaman pullon hyvää viiniä juotuaan he alkavat lyödä vetoa siitä, kummalla on kalliimpi solmio.

Tehtävä

Kuten jo tiedämme, Pekka ja Eino alkavat muutaman pullon jälkeen lyödä vetoa siitä, kummalla on kalliimpi solmio. Molemmat saivat solmionsa jouluna vaimoiltaan, eivätkä he itsekään tiedä, mitä solmio maksaa. Vedon tarkka sanamuoto kuuluu näin: he kysyvät vaimoiltaan hintaa, ja se, jolla on halvempi solmio, saa toisen solmion. Eli jos Pekan solmio on halvempi kuin Einon, Pekka saa Einon solmion. Ja päinvastoin. Ensimmäinen kysymys kuuluu: onko jompikumpi heistä edullisemmassa asemassa? Kannattaako jommankumman lähteä vetoon, vai ovatko mahdollisuudet molemmille täysin samat?

Näennäisratkaisu

Ehkä on. Oletetaan edelleen, että solmioiden hinnat ovat erilaiset. Se ei muuta ratkaisua, koska jos hinnat olisivat samat, kukaan ei saisi kenenkään solmiota. Laske kanssani: Pekan solmio maksaa X euroa. Einon solmiosta hän ei tiedä mitään, eikä hänellä ole mitään muitakaan vihjeitä, joten todennäköisyys, että Einon solmio on halvempi, on 50 %, ja todennäköisyys, että se on kalliimpi, on myös 50 %. Jos siis Pekan solmio on kalliimpi, hän menettää X euroa. Mutta jos hänen solmionsa on halvempi, hän saa enemmän kuin X euroa. Kumpikin todennäköisyydellä 50 %: hänellä on 50% mahdollisuus menettää X euroa ja 50% mahdollisuus saada enemmän kuin X euroa.

Samalla todennäköisyydellä hän voi siis voittaa enemmän rahaa (kalliimman solmion) kuin voi hävitä. Ja se kannattaa! Näyttää siltä, että Pekalle kaikki kehittyy erittäin hyvin ja että hänelle on parempi lähteä vetoon. Hän voi voittaa enemmän kuin voi menettää.

Mutta kuten kaikki varmaan aavistatte, saman päättelyn voi tehdä myös Eino. Myös Einolla on 50% mahdollisuus menettää solmionsa, jonka hinta on Y, ja 50% mahdollisuus voittaa solmio, jonka hinta on yli Y.

Selvästikään ei ole mahdollista, että samalla panoksella molemmat osapuolet olisivat edullisemmassa asemassa; jokin on pielessä.

Ratkaisu

Ensin kirjoitamme auki, mitä kukin oikeastaan voi voittaa. Sijoitamme mielivaltaiset konkreettiset solmioiden hinnat. Oletetaan yksinkertaisuuden vuoksi, että solmioita on vain kaksi, hinnoiltaan 30 ja 40 euroa. Silloin Pekan kannalta voivat toteutua seuraavat tapaukset:

• Pekan solmio maksaa 30 ja Einon 40 → Pekka sai 40.
• Pekan solmio maksaa 40 ja Einon 30 → Pekka menetti 40.

(Sen, että solmioiden hinta olisi sama, suljimme pois, mutta se ei olisi välttämätöntä – silloin kumpikaan ei voittaisi mitään.)

Kuten näemme, pelataan aina samoista rahoista, Pekka voi joko saada 40 tai menettää 40. Tämä on tietysti riippumaton konkreettisesta hinnasta, jos sijoitat tilalle summat 25 ja 35, pelataan aina 35 eurosta. Vetoon ei siis kannata kenenkään lähteä (tai olla lähtemättä), ellei hänellä ole lisätietoja.

Jos meillä olisi yhteensä kolme eri solmiota, sanotaan hinnoiltaan 20, 30 ja 40 euroa, saisimme hieman enemmän vaihtoehtoja. Ensin Pekan voitot, sitten Pekan tappiot:

• Pekan solmio maksaa 20 ja Einon 30 → Pekka sai 30.
• Pekan solmio maksaa 20 ja Einon 40 → Pekka sai 40.
• Pekan solmio maksaa 30 ja Einon 40 → Pekka sai 40.
• Pekan solmio maksaa 30 ja Einon 20 → Pekka menetti 30.
• Pekan solmio maksaa 40 ja Einon 20 → Pekka menetti 40.
• Pekan solmio maksaa 40 ja Einon 30 → Pekka menetti 40.

Kaikki vaihtoehdot ovat yhtä todennäköisiä. Kuten näemme, Pekka voi saada täsmälleen sen verran rahaa kuin hän voi samalla menettää. Samanlaisia taulukoita saisimme vielä useammalle solmiolle, aina pätisi, että Pekka voi menettää sen verran rahaa kuin hän voi samalla saada. Ja koska kaikki vaihtoehdot ovat yhtä todennäköisiä, kumpikaan osapuoli ei ole epäedullisessa asemassa.

Pekan päävirhe oli se, että hän laski solmionsa kiinteällä hinnalla. Sitä hän ei saa tehdä, koska kahden solmion esimerkistä näkyy, että hänen solmionsa hinta tappion tapauksessa oli eri kuin hänen solmionsa hinta voiton tapauksessa. Samoin seuraavassa kolmen solmion esimerkissä – kun Pekka voitti, hänen solmionsa hinta oli joukosta {20, 30}, mutta kun hän hävisi, hinta oli joukosta {30, 40}. Silti Pekka laski koko ajan kiinteällä summalla.