Stropdasparadox

Twee vrienden, Daan en Bram, komen elkaar op vakantie tegen. Na een paar flessen goede wijn gaan ze wedden wie van hen de duurste stropdas heeft.

Opgave

Zoals we al weten, gaan Daan en Bram na een paar flessen wijn wedden wie van hen de duurste stropdas heeft. Die stropdas hebben ze met kerst van hun partners gekregen en ze weten zelf niet eens hoeveel de stropdas kost. De precieze inhoud van de weddenschap is als volgt: ze vragen hun partners naar de prijs en wie de goedkopere stropdas heeft, krijgt de stropdas van de ander. Dus als Daan een goedkopere stropdas heeft dan Bram, krijgt Daan de stropdas van Bram. En andersom. De eerste vraag is of een van hen een voordeel heeft. Loont het voor een van hen om aan de weddenschap mee te doen, of zijn de kansen voor beiden precies gelijk?

Schijnoplossing

Misschien wel. We nemen verder aan dat de prijzen van de stropdassen verschillen. Aan de oplossing verandert dat niets, want als de prijs gelijk was, zou niemand de stropdas van de ander krijgen. Reken maar met mij mee: Daan heeft een stropdas die X euro kost. Over de stropdas van Bram weet hij niets, hij heeft ook geen andere aanwijzingen, dus de kans dat Bram een goedkopere stropdas heeft is 50%, en de kans dat hij een duurdere heeft is ook 50%. Als Daan dus de duurdere stropdas heeft, verliest hij X euro. Maar als hij de goedkopere heeft, wint hij meer dan X euro. Beide met kans 50%: hij heeft 50% kans dat hij X euro verliest en 50% kans dat hij meer dan X euro wint.

Bij gelijke kans kan hij dus meer geld winnen (een duurdere stropdas) dan hij kan verliezen. En dat loont! Het lijkt erop dat alles er voor Daan heel mooi uitziet en dat het beter voor hem is om aan de weddenschap mee te doen. Hij kan meer winnen dan hij kan verliezen.

Maar, zoals je vast al vermoedt, dezelfde redenering kan ook Bram maken. Ook Bram heeft 50% kans dat hij zijn stropdas ter waarde van Y verliest en 50% kans dat hij een stropdas wint die meer dan Y waard is.

Het is duidelijk dat het onmogelijk is dat bij dezelfde weddenschap beide deelnemers een voordeel hebben; er moet iets mis zijn.

Oplossing

Eerst schrijven we uit wat iedereen eigenlijk kan winnen. We vullen willekeurige concrete prijzen van de stropdassen in. Stel voor de eenvoud dat er maar twee stropdassen bestaan, met prijzen van € 30 en € 40. Dan kunnen, vanuit het oogpunt van Daan, de volgende gevallen optreden:

• Daan heeft een stropdas van € 30 en Bram van € 40 → Daan won € 40.
• Daan heeft een stropdas van € 40 en Bram van € 30 → Daan verloor € 40.

(Dat ze stropdassen van dezelfde prijs hebben, hebben we uitgesloten, maar dat was niet nodig geweest — dan zou geen van beiden winnen.)

Zoals je ziet, wordt er altijd om hetzelfde geld gespeeld: Daan kan of € 40 winnen, of € 40 verliezen. Dat is natuurlijk onafhankelijk van de concrete prijs: als je de bedragen € 25 en € 35 invult, wordt er altijd om € 35 gespeeld. Het loont dus voor niemand om aan de weddenschap mee te doen (of niet mee te doen) als hij geen extra informatie heeft.

Als we in totaal drie verschillende stropdassen hadden, zeg van € 20, € 30 en € 40, zouden we iets meer mogelijkheden krijgen. Eerst de winsten van Daan, daarna de verliezen van Daan:

• Daan heeft een stropdas van € 20 en Bram van € 30 → Daan won € 30.
• Daan heeft een stropdas van € 20 en Bram van € 40 → Daan won € 40.
• Daan heeft een stropdas van € 30 en Bram van € 40 → Daan won € 40.
• Daan heeft een stropdas van € 30 en Bram van € 20 → Daan verloor € 30.
• Daan heeft een stropdas van € 40 en Bram van € 20 → Daan verloor € 40.
• Daan heeft een stropdas van € 40 en Bram van € 30 → Daan verloor € 40.

Alle mogelijkheden zijn even waarschijnlijk. Zoals je ziet, kan Daan precies het geld winnen dat hij ook kan verliezen. Voor nog meer stropdassen zouden we vergelijkbare tabellen krijgen, altijd zou gelden dat Daan het geld kan verliezen dat hij ook kan winnen. En omdat alle mogelijkheden even waarschijnlijk zijn, heeft geen van beide deelnemers een nadeel.

De belangrijkste fout die Daan maakte, was dat hij rekende met een vaste prijs van zijn stropdas. Dat mag niet, want, zoals je ziet bij het voorbeeld met twee stropdassen, was de prijs van zijn stropdas bij verlies een andere dan de prijs van zijn stropdas bij winst. Evenzo in het volgende voorbeeld met drie stropdassen — toen Daan won, was de prijs van zijn stropdas een element van de verzameling {20, 30}, maar toen hij verloor, was de prijs een element van de verzameling {30, 40}. Toch rekende Daan steeds met een vast bedrag.