Το παράδοξο της γραβάτας

Συναντιούνται κάποτε στις διακοπές τους στο Ντουμπάι ο Νίκος και ο Γιώργος. Μετά από μερικά μπουκάλια εκλεκτό λιαστό κρασί αρχίζουν να στοιχηματίζουν ποιανού η γραβάτα είναι πιο ακριβή.

Εκφώνηση

Όπως ήδη ξέρουμε, ο Νίκος και ο Γιώργος, μετά από μερικά μπουκάλια κρασί, αρχίζουν να στοιχηματίζουν ποιανού η γραβάτα είναι πιο ακριβή. Τη γραβάτα την πήραν δώρο τα Χριστούγεννα από τις γυναίκες τους και ούτε οι ίδιοι δεν ξέρουν πόσο κοστίζει. Η ακριβής διατύπωση του στοιχήματος είναι η εξής: θα ρωτήσουν τις γυναίκες τους για την τιμή και όποιος έχει την πιο φθηνή γραβάτα θα πάρει τη γραβάτα του άλλου. Δηλαδή, αν ο Γιώργος έχει πιο φθηνή γραβάτα από τον Νίκο, ο Γιώργος παίρνει τη γραβάτα του Νίκου. Και αντίστροφα. Το πρώτο ερώτημα είναι αν κάποιος από τους δύο βρίσκεται σε πλεονεκτική θέση. Συμφέρει σε κάποιον από τους δύο να μπει στο στοίχημα ή οι πιθανότητες είναι ακριβώς ίδιες και για τους δύο;

Ψευδολύση

Ίσως ναι. Θα υποθέσουμε στη συνέχεια ότι οι τιμές των γραβατών είναι διαφορετικές. Αυτό δεν αλλάζει τίποτα στη λύση, γιατί αν οι τιμές ήταν ίδιες, κανείς δεν θα έπαιρνε τη γραβάτα κανενός. Υπολόγισε μαζί μου: ο Γιώργος έχει μια γραβάτα που κοστίζει X ευρώ. Για τη γραβάτα του Νίκου δεν ξέρει τίποτα και δεν έχει ούτε καμία άλλη ένδειξη, άρα η πιθανότητα να έχει πιο φθηνή γραβάτα είναι 50% και η πιθανότητα να έχει πιο ακριβή γραβάτα είναι επίσης 50%. Αν λοιπόν ο Γιώργος έχει την πιο ακριβή γραβάτα, θα χάσει X ευρώ. Αν όμως έχει την πιο φθηνή, θα κερδίσει περισσότερα από X ευρώ. Και τα δύο με πιθανότητα 50%: έχει 50% πιθανότητα να χάσει X ευρώ και 50% πιθανότητα να κερδίσει περισσότερα από X ευρώ.

Με ίση πιθανότητα μπορεί λοιπόν να κερδίσει περισσότερα χρήματα (την πιο ακριβή γραβάτα) από όσα μπορεί να χάσει. Και αυτό συμφέρει! Φαίνεται ότι για τον Γιώργο όλα πηγαίνουν πολύ καλά και ότι θα είναι καλύτερο για αυτόν να μπει στο στοίχημα. Μπορεί να κερδίσει περισσότερα από όσα μπορεί να χάσει.

Μόνο που, όπως μάλλον υποψιάζεσαι, την ίδια σκέψη μπορεί να κάνει και ο Νίκος. Και ο Νίκος έχει 50% πιθανότητα να χάσει τη γραβάτα του αξίας Y και 50% πιθανότητα να κερδίσει γραβάτα αξίας περισσότερο από Y.

Προφανώς δεν γίνεται σε ένα ίσο στοίχημα να βρίσκονται και οι δύο συμμετέχοντες σε πλεονεκτική θέση· κάτι πρέπει να είναι λάθος.

Λύση

Πρώτα θα γράψουμε τι μπορεί να κερδίσει ο καθένας. Βάζουμε οποιεσδήποτε συγκεκριμένες τιμές γραβατών. Ας υποθέσουμε για απλότητα ότι υπάρχουν μόνο δύο γραβάτες, με τιμές 120 και 160 ευρώ. Τότε, από τη σκοπιά του Γιώργου, μπορούν να συμβούν οι εξής περιπτώσεις:

• Ο Γιώργος έχει γραβάτα αξίας 120 και ο Νίκος αξίας 160 → ο Γιώργος κέρδισε 160.
• Ο Γιώργος έχει γραβάτα αξίας 160 και ο Νίκος αξίας 120 → ο Γιώργος έχασε 160.

(Ότι θα είχαν γραβάτες με την ίδια τιμή το αποκλείσαμε, αλλά δεν θα ήταν απαραίτητο – τότε δεν θα κέρδιζε κανείς από τους δύο.)

Όπως βλέπεις, παίζονται πάντα τα ίδια χρήματα, ο Γιώργος μπορεί είτε να κερδίσει 160 είτε να χάσει 160. Αυτό φυσικά δεν εξαρτάται από τη συγκεκριμένη τιμή: αν βάλεις εκεί τα ποσά 10 και 14, θα παίζονται πάντα 14 ευρώ. Σε κανέναν λοιπόν δεν συμφέρει να μπει (ή να μην μπει) στο στοίχημα, αν δεν έχει επιπλέον πληροφορίες.

Αν είχαμε συνολικά τρεις διαφορετικές γραβάτες, ας πούμε αξίας 80, 120 και 160, θα είχαμε λίγο περισσότερες δυνατότητες. Πρώτα τα κέρδη του Γιώργου, μετά οι απώλειές του:

• Ο Γιώργος έχει γραβάτα αξίας 80 και ο Νίκος αξίας 120 → ο Γιώργος κέρδισε 120.
• Ο Γιώργος έχει γραβάτα αξίας 80 και ο Νίκος αξίας 160 → ο Γιώργος κέρδισε 160.
• Ο Γιώργος έχει γραβάτα αξίας 120 και ο Νίκος αξίας 160 → ο Γιώργος κέρδισε 160.
• Ο Γιώργος έχει γραβάτα αξίας 120 και ο Νίκος αξίας 80 → ο Γιώργος έχασε 120.
• Ο Γιώργος έχει γραβάτα αξίας 160 και ο Νίκος αξίας 80 → ο Γιώργος έχασε 160.
• Ο Γιώργος έχει γραβάτα αξίας 160 και ο Νίκος αξίας 120 → ο Γιώργος έχασε 160.

Όλες οι περιπτώσεις είναι εξίσου πιθανές. Όπως βλέπεις, ο Γιώργος μπορεί να κερδίσει ακριβώς τα χρήματα που μπορεί ταυτόχρονα να χάσει. Παρόμοιους πίνακες θα παίρναμε και για ακόμα περισσότερες γραβάτες, και πάντα θα ίσχυε ότι ο Γιώργος μπορεί να χάσει τα χρήματα που μπορεί ταυτόχρονα να κερδίσει. Και επειδή όλες οι περιπτώσεις είναι εξίσου πιθανές, κανένας από τους συμμετέχοντες δεν βρίσκεται σε μειονεκτική θέση.

Το βασικό λάθος που έκανε ο Γιώργος ήταν ότι υπολόγισε με σταθερή τιμή της γραβάτας του. Αυτό δεν μπορεί να το κάνει, γιατί, όπως φαίνεται στο παράδειγμα με τις δύο γραβάτες, η τιμή της γραβάτας του σε περίπτωση ήττας ήταν διαφορετική από την τιμή της γραβάτας του σε περίπτωση νίκης. Παρόμοια στο επόμενο παράδειγμα με τις τρεις γραβάτες – όταν ο Γιώργος κέρδιζε, η τιμή της γραβάτας του ήταν από το σύνολο {80, 120}, αλλά όταν έχανε, η τιμή ήταν από το σύνολο {120, 160}. Παρ' όλα αυτά ο Γιώργος συνέχιζε να υπολογίζει με σταθερό ποσό.