Polinomlar

Polinom, x değişkenini ve yalnızca toplama, çarpma ile negatif olmayan tam sayı üslü kuvvet alma işlemlerini içeren bir ifadedir. Polinomları toplayabilir, çıkarabilir, çarpabilir, bölebilir ve kuvvetini alabiliriz.

Temel Bilgiler

Basit bir polinom örneği:

$2 x^{2} + 5 x - 12$

Genel olarak bir polinomu şöyle yazabiliriz:

$a_{n} x^{n} + a_{n - 1} x^{n - 1} + \dots + a_{1} x^{1} + a_{0} x^{0},$

Burada x’lerin önündeki gerçek sayılara, yani a_n sayılarına katsayı denir, n sayısına ise polinomun derecesi denir. n sayısı, a_n ≠ 0 olan en büyük üsse karşılık gelir. a_n sıfır olsaydı, katsayısının bulunduğu x değişkeni aslında ortadan kalkmış olurdu, çünkü sıfır çarpı herhangi bir sayı sıfırdır:

$0 \cdot x^{3} = 0.$

Yani ilk verdiğimiz polinomun derecesi 2’dir, çünkü değişkenin sıfırdan farklı en büyük üssü 2’dir. Başka bir polinom için

$7 x^{2} + 5 x^{4} + 15 x$

polinomun derecesi 4 olurdu (en büyük üs 4’tür). Polinomları genellikle üslere göre azalan sırada yazarız; böylece en büyük kuvvetli terim başta durur. Yani önceki polinomu şöyle yeniden yazabiliriz:

$5 x^{4} + 7 x^{2} + 15 x .$

Bu polinomda üssü 3 ve 0 olan terimlerin bulunmadığını görüyoruz. Bu hiç sorun değil; bu terimlerin katsayısının sıfır olduğunu düşünürüz. Nitekim şöyle yazabiliriz:

$5 x^{4} + 0 x^{3} + 7 x^{2} + 15 x^{1} + 0 x^{0} .$

Artık bütün terimler yazılmış oldu, ama polinom gereksiz yere karışık görünüyor. Bu yüzden sıfır katsayılı terimleri genellikle yazmayız.

Polinomlarda Toplama ve Çıkarma

Polinomlarda toplama ve çıkarma oldukça kolaydır. Her zaman yalnızca üsleri aynı olan terimlerin katsayılarını toplarız ya da çıkarırız. Yani şu eşitlik geçerlidir:

$a x^{n} + b x^{n} = (a + b) x^{n} .$

Basit bir örnek:

$3 x^{2} + 5 x^{2} = (3 + 5) x^{2} = 8 x^{2}$

Daha uzun polinomları toplamak istersek, her zaman değişkenin üssü aynı olan terimleri seçmeliyiz.

$\begin{array}{r} (7 x^{3} + 5 x^{2} + x) + (2 x^{3} - 3 x^{2} + 9 x) = \\ = (7 + 2) x^{3} + (5 - 3) x^{2} + (1 + 9) x . \end{array}$

Bir polinomda belirli bir üssü olan terim yoksa o terim aynen kalır (diğer polinomda böyle bir terimin sıfır katsayılı olarak bulunduğunu düşün).

$(x^{3} + 2 x) + (4 x^{2} + 5 x + 3) = x^{3} + 4 x^{2} + 7 x + 3$

Polinomlarda çıkarma da toplama gibi yapılır; yalnızca ikinci polinomu −1 ile çarparız, yani bütün işaretleri değiştiririz. İşte bir örnek:

$(3 x^{2} + 6 x) - (2 x^{2} + 14 x) = (3 x^{2} + 6 x) + (- 2 x^{2} - 14 x)$

Bu artık sıradan bir polinom toplamasıdır, yani her zamanki gibi toplayabiliriz:

$(3 x^{2} + 6 x) + (- 2 x^{2} - 14 x) = x^{2} - 8 x$

Hatırlatayım: Polinomda negatif bir terim varsa, bu işlemden sonra pozitif olur.

$\begin{array}{rcl} (x^{2} + 2 x) - (3 x^{2} - 10 x) = \\ = & (x^{2} + 2 x) + (- 3 x^{2} + 10 x) = \\ = & - 2 x^{2} + 12 x \end{array}$

Polinomlarda Çarpma

Polinomları çarparken birinci polinomun her terimini ikinci polinomun her terimiyle çarparız. Katsayıları sıradan gerçek sayılar gibi çarparız. Değişkenlerin üslerini ise üslü ifadelerle işlem kurallarına göre yalnızca toplarız. İşte bir örnek:

$(3 x^{2} + 4 x) \cdot 5 x^{2} = (3 \cdot 5) x^{2 + 2} + (4 \cdot 5) x^{1 + 2} = 15 x^{4} + 20 x^{3}$

Bu örnekte ikinci polinom tek terimliydi, bu yüzden bütün terimlerin birbiriyle çarpılışını göstermedi. Biraz daha kapsamlı bir örnek:

$\begin{array}{rcl} (x^{3} + 2 x) \cdot (4 x^{2} + 7 x) = \\ = & (1 \cdot 4) x^{3 + 2} + (1 \cdot 7) x^{3 + 1} + (2 \cdot 4) x^{1 + 2} + (2 \cdot 7) x^{1 + 1} \end{array}$

Polinomda eksi işareti varsa, bu işaret çarpmada da kendini gösterir.

$\begin{array}{rcl} (x^{3} - 2 x) \cdot (4 x^{2} - 7 x) = \\ = & (1 \cdot 4) x^{3 + 2} + (1 \cdot (- 7)) x^{3 + 1} + (- 2 \cdot 4) x^{1 + 2} + \\ + & (- 2 \cdot (- 7)) x^{1 + 1} = 4 x^{5} - 7 x^{4} - 8 x^{3} + 14 x^{2} \end{array}$

Polinomların Sadeleştirilmesi

Polinomları sadeleştirirken genellikle polinomu daha basit bir hâle getirmek isteriz. Bunun için genişletme, sadeleştirme, ortak çarpan parantezine alma, özdeşlikleri uygulama gibi işlemlerden yararlanırız. Bu özdeşlikleri bilmek iyi olur. Yararlı formüllerin listesini başka bir yerde bulabilirsin. Biz burada bunlardan bazılarını kullanacağız; zamanı geldikçe belirteceğim. Sık kullanılan bir formül şudur:

$(a + b)^{2} = a^{2} + 2 a b + b^{2}$

Bu formülün nasıl ortaya çıktığını merak ediyorsan, parantezleri açman yeterli.

$\begin{array}{rcl} (a + b)^{2} & = & (a + b) (a + b) \\ = & a^{2} + a b + b a + b^{2} \\ = & a^{2} + 2 a b + b^{2} \end{array}$

Basit bir örnekle başlayalım.

$\begin{array}{rcl} (a + b)^{2} + (a + 2 b)^{2} - 3 a \cdot 2 b = \\ = & a^{2} + 2 a b + b^{2} + a^{2} + 4 a b + 4 b^{2} - 6 a b = \\ = & 2 a^{2} + 5 b^{2} \end{array}$

Soldaki iki parantezi de yukarıda verdiğim formüle göre açtık. Hatırlatayım, ikinci parantezi şöyle açmıştık:

$(a + 2 b)^{2} = a^{2} + 4 a b + 4 b^{2} .$

Bir başka sık kullanılan formül şudur:

$a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b) .$

Şimdi ikinci örnek geliyor; bu kez kesirli bir ifade var. Hem pay hem de payda kısmında polinomlar var ve biz bunları, kesir güzelce sadeleşecek biçimde düzenlemeye çalışacağız. İlk adımda pay kısmında birinci formülü tersine uygularız. Payda kısmında ikinci formülü uygularız. En sonda yalnızca (a + b) ifadesini sadeleştiririz.

$\begin{array}{rcl} \frac{a^{2} + 2 a b + b^{2}}{a^{2} - b^{2}} & = & \frac{(a + b)^{2}}{(a + b) (a - b)} \\ = & \frac{(a + b) (a + b)}{(a + b) (a - b)} \\ = & \frac{a + b}{a - b} \end{array}$

Üçüncü örnekte ortak çarpan parantezine almayı deneyelim. Önce pay kısmında 3a³ ifadesini ortak çarpan parantezine alırız, sonra (4a² − 1) parantezini a² − b² formülüne göre çarpanlarına ayırırız; bunun için şu eşitlikten yararlanırız:

$1^{2} = 1^{1} \to (a^{2} - 1^{2}) = (a + 1) (a - 1) .$

Payda kısmında ise önce ilk iki terimi basitçe çarparız, sonra yine 3a³ ifadesini ortak çarpan parantezine alırız ve sonunda her şeyi sadeleştiririz.

$\begin{array}{rcl} \frac{12 a^{5} - 3 a^{3}}{2 a^{2} \cdot 3 a^{2} + 3 a^{3}} & = & \frac{3 a^{3} (4 a^{2} - 1)}{6 a^{4} + 3 a^{3}} \\ = & \frac{3 a^{3} (2 a + 1) (2 a - 1)}{3 a^{3} (2 a + 1)} \\ = & 2 a - 1 \end{array}$

Bölümler: Polinomlar, Polinomlarda Bölme, Polinomun Kökü, Polinomu Çarpanlarına Ayırma

« Önceki: Sıfıra Neden Bölemeyiz

Sonraki: Polinomlarda Bölme »