Orantı Kurarak Çözme

Orantı kurarak çözme, doğru ve ters orantıyla ilgili basit hesaplamalarda kullanılır. Çoğunlukla birbirine bağlı üç değeri biliriz ve dördüncüsünü hesaplamamız gerekir. Orantı kurarken doğru ve ters orantıyı dikkatle ayırt etmeliyiz, çünkü hesapları farklıdır.

Motivasyon

Markete limonata stoklamaya gidiyorsun. 100 TL ile 5 şişe limonata aldın. Peki 200 liran olsaydı kaç limonata alırdın? Bu, orantı kurarak çözebileceğimiz tipik bir örnektir.

Burada basit bir mantık yürütebiliriz: İlk durumda 100 liramız vardı, ikinci durumda 200 liramız. O hâlde iki kat daha fazla liramız varsa, iki kat daha fazla şişe alacağımızı bekleyebiliriz. 200 TL ile 2 · 5 = 10 limonata alırdık.

Yukarıdaki “ne kadar çoksa… o kadar çok” mantığı her durumda geçerli değildir; şu örneği düşün: 10 usta bir evi dört ayda yapıyor. 20 usta aynı evi ne kadar sürede yapar? Önceki mantığı kullanırsak (usta sayısı iki kat arttı, öyleyse ay sayısı da iki kat artar) 20 ustanın evi 2 · 4 = 8 ayda yapacağını buluruz.

Bu mantık elbette yanlıştır, çünkü usta sayısı arttıkça evi yapmaları daha az ay sürer. Yani tersini yapmalıyız: iki kat daha fazla usta evi iki kat daha kısa sürede yapar. Böylece doğru sonucu buluruz: 20 usta evi 4/2 = 2 ayda yapar.

Bu iki farklı yolun adları da vardır: doğru orantı ve ters orantı.

Doğru Orantı

“Ne kadar çoksa… o kadar çok” geçerliyse, doğru orantı vardır. Örnekler:

• Ne kadar çok paramız varsa, o kadar çok limonata, salatalık ya da scooter alabiliriz.
• Bir muhabir ne kadar çok haber yazarsa, o kadar çok para kazanır.
• Ne kadar çok işçi kazarsa, o kadar çok toprak kazılır.
• Pompayı ne kadar uzun süre çalıştırırsak, o kadar çok su çekeriz.

Örnek: Bir araba 100 kilometrede 6 litre benzin harcıyor. 250 kilometre yol gittikten sonra kaç litre benzin harcar? Bu bir doğru orantı sorusudur, çünkü araba ne kadar çok yol giderse o kadar çok benzin harcar.

Çözüm: Önce bildiklerimizi yazarız. Bunun için neyi bildiğimizi ve neyi hesaplayacağımızı düzenli gösteren şu tabloyu kullanırız:

$$\begin{array}{rcl}100\text{ km}& \dots & 6\text{ litre}\\ 250\text{ km}& \dots & x\text{ litre}\end{array}$$

Birinci satırda tamamen bildiğimiz değerler var. İkinci satırın sağ tarafında bilmediğimiz değer, sol tarafında ise bilinmeyeni hesaplamak istediğimiz değer var. Sütunlarda hep aynı türden değerler olmalıdır; bu örnekte bir sütunda hep kilometre, diğerinde hep litre olmalıdır.

Bu örneği çözmene yardım edecek hatırlatıcı bir kural var. Önce sağ tarafa aşağıdan yukarıya doğru bir ok çiz, şöyle:

$$\begin{array}{rcl}100\text{ km}& \dots & 6\text{ litre}\\ 250\text{ km}& \dots & x\text{ litre}\uparrow \end{array}$$

Doğru orantı varsa, sol tarafa da aynı oku, aşağıdan yukarıya doğru çizeriz:

$$\begin{array}{rcl}100\text{ km}& \dots & 6\text{ litre}\\ \uparrow 250\text{ km}& \dots & x\text{ litre}\uparrow \end{array}$$

Sonraki adımda okların yönünde sütunlardan kesirler oluştururuz. Pay, okun başladığı yerdeki sayıdır, payda ise okun bittiği yerdeki sayıdır. Bu kesirleri birbirine eşitleriz. Birinci sütundan (kilometre) $\frac{250}{100}$ kesrini, ikinci sütundan (litre) $\frac{x}{6}$ kesrini elde ederiz. Denklem olarak yazarsak:

$$\frac{250}{100}=\frac{x}{6}$$

Bu sıradan bir birinci dereceden denklemdir; onu denk işlemlerle çözebiliriz. Sağ taraftaki kesirden kurtulmak için denklemin her iki tarafını 6 ile çarparız:

$$6\cdot \frac{250}{100}=x$$

Şimdi x’i hesaplamak kaldı:

$$x=6\cdot \frac{250}{100}=6\cdot \frac{5}{2}=\frac{30}{2}=15$$

Sonuç olarak araba 250 kilometre yol gittikten sonra 15 litre benzin harcar.

Ters Orantı

“Ne kadar çoksa… o kadar az” geçerliyse, ters orantı vardır. Örnekler:

• Bir pizzayı ne kadar çok kişi paylaşırsa, herkesin payına o kadar küçük dilim düşer.
• İnternetimiz ne kadar hızlıysa, bir filmi o kadar erken indiririz.
• Ne kadar hızlı gidersek, hedefe o kadar erken varırız.
• Bir evde ne kadar çok işçi çalışırsa, ev o kadar erken biter.

Örnek: Bilgisayarında internet hızın saniyede 2 MB ve bir filmi 450 saniyede indirdin. İnternet hızın saniyede 6 MB olsaydı aynı filmi ne kadar sürede indirirdin?

Çözüm, doğru orantıdakiyle aynı olacak; bilgileri düzenli bir tabloya yazarız:

$$\begin{array}{rcl}2\text{ MB/s}& \dots & 450\text{ saniye}\\ 6\text{ MB/s}& \dots & x\text{ saniye}\end{array}$$

Şimdi oklara geçelim. Sağdaki ok yine aşağıdan yukarıya olacak, burada bir şey değişmez. Ama ters orantı olduğu için soldaki ok ters yöne, yukarıdan aşağıya gidecek.

$$\begin{array}{rcl}2\text{ MB/s}& \dots & 450\text{ saniye}\\ \downarrow 6\text{ MB/s}& \dots & x\text{ saniye}\uparrow \end{array}$$

Sonrası yine aynı: bu tablodan, yine okların yönünde kesirler oluştururuz. $\frac{2}{6}$ ve $\frac{x}{450}$ kesirlerini elde ederiz ve bunları birbirine eşitleriz:

$$\frac{2}{6}=\frac{x}{450}$$

Denklemi 450 ile çarparız:

$$450\cdot \frac{2}{6}=x$$

Ve x’i hesaplarız:

$$x=450\cdot \frac{2}{6}=450\cdot \frac{1}{3}=\frac{450}{3}=150$$

Daha hızlı bağlantıyla filmi 150 saniyede indiririz.

Dikkat et, bu çözüm sezgimizle uyumludur. Son adımda 450’yi 3’e bölüyoruz; beklediğimiz de buydu. Hız 2 MB/s’den 6 MB/s’ye, yani üç katına çıkıyor. Bu yüzden filmi indirme süresinin üçte birine inmesini bekleriz → ve $\frac{450}{3}$ kesri tam olarak bunu ifade eder.

Örnekler

Birinci örnek: Lüks bir otelde bir oda yedi gece için on bin beş yüz liradır. Aynı odada on iki gece kalmak istersek ne kadar öderiz?

Önce bilgileri tabloya yazalım:

$$\begin{array}{rcl}7\text{ gece}& \dots & 10.500\text{ TL}\\ 12\text{ gece}& \dots & x\text{ TL}\end{array}$$

Şimdi bunun doğru mu ters orantı mı olduğuna karar vermeliyiz. Ne kadar uzun kalırsak o kadar az mı öderiz? Hayır, tersi geçerli: ne kadar uzun kalırsak o kadar çok öderiz. Yani bu bir doğru orantıdır. Okları ekleyelim:

$$\begin{array}{rcl}7\text{ gece}& \dots & 10.500\text{ TL}\\ \uparrow 12\text{ gece}& \dots & x\text{ TL}\uparrow \end{array}$$

Oklardan yararlanarak kesirleri oluştururuz:

$$\frac{12}{7}=\frac{x}{10.500}$$

Denklemi çözelim:

$$\begin{array}{rcl}\frac{12}{7}& =& \frac{x}{10.500}\\ 10.500\cdot \frac{12}{7}& =& x\\ x& =& 10.500\cdot \frac{12}{7}\\ x& =& \frac{10.500\cdot 12}{7}\\ x& =& 18.000\end{array}$$

Oda 12 gece için bize 18.000 TL’ye mal olur.

İkinci örnek: Çilek toplayan 10 mevsimlik işçi günde 50 kilo çilek topluyor. 7 işçi günde kaç kilogram çilek toplar?

Bilgileri tabloya yazalım:

$$\begin{array}{rcl}10\text{ işçi}& \dots & 50\text{ kg}\\ 7\text{ işçi}& \dots & x\text{ kg}\end{array}$$

Doğru orantı mı, ters orantı mı? Bu örnekte bir tuzak var: önceki örneklerden farklı olarak bilinmeyenin olduğu satırda işçi sayısı birinci satırdakinden daha az. Bu seni yanıltmasın; yine bir doğru orantıdır, çünkü işçi sayısı ne kadar çoksa toplanan çilek o kadar çoktur. Ya da tersi: işçi sayısı ne kadar azsa çilek o kadar azdır. Bu da doğru orantıdır. Yani iki ok da aşağıdan yukarıya olacak.

$$\begin{array}{rcl}10\text{ işçi}& \dots & 50\text{ kg}\\ \uparrow 7\text{ işçi}& \dots & x\text{ kg}\uparrow \end{array}$$

Kesirleri oluşturalım:

$$\frac{7}{10}=\frac{x}{50}$$

ve x’i hesaplayalım:

$$\begin{array}{rcl}\frac{7}{10}& =& \frac{x}{50}\\ 50\cdot \frac{7}{10}& =& x\\ x& =& 50\cdot \frac{7}{10}\\ x& =& 5\cdot 7\\ x& =& 35\end{array}$$

Yedi işçi günde 35 kilo çilek toplar.

Üçüncü örnek: Can’ın ortalama adım uzunluğu 80 cm. Okuldan eve dönerken 1.300 adım attığını saydı. Adımı tam bir metre olsaydı kaç adım atardı?

Önce tablo. Dikkat et, soruda 80 cm ve bir metre var. Tabloda ise değerlerin aynı birimde olması gerekir; bu yüzden bir metre yerine 100 cm yazarız. Ters yoldan da gidebilirdik; 1 metre ve 0,8 metre yazardık.

$$\begin{array}{rcl}80\text{ cm}& \dots & 1300\text{ adım}\\ 100\text{ cm}& \dots & x\text{ adım}\end{array}$$

Peki bu hangi orantı? Adımımız ne kadar uzunsa, belli bir mesafeyi almak için o kadar az adım gerekir; yani bu bir ters orantıdır. Soldaki ok yukarıdan aşağıya, sağdaki ok aşağıdan yukarıya olacak.

$$\begin{array}{rcl}80\text{ cm}& \dots & 1300\text{ adım}\\ \downarrow 100\text{ cm}& \dots & x\text{ adım}\uparrow \end{array}$$

Kesirler şöyle olacak:

$$\frac{80}{100}=\frac{x}{1300}$$

x’i yalnız bırakıp hesaplayalım:

$$\begin{array}{rcl}\frac{80}{100}& =& \frac{x}{1300}\\ 1300\cdot \frac{80}{100}& =& x\\ x& =& 1300\cdot \frac{4}{5}\\ x& =& \frac{1300\cdot 4}{5}\\ x& =& 1040\end{array}$$

Can aynı mesafe için yalnızca 1.040 adım atardı.

Formüller

Önceki hesaplardan da görüldüğü gibi çözüm yolları hep aynıdır ve basit formüllere götürür. Önce tabloyu sembollerle yazalım:

$$\begin{array}{rcl}a& \dots & b\\ c& \dots & x\end{array}$$

O zaman şu formüller geçerlidir. Doğru orantı için:

$$x=b\cdot \frac{c}{a}$$

Ters orantı için ise:

$$x=b\cdot \frac{a}{c}$$