Toplama ve Çıkarma
Toplama ve çıkarma, günlük hayatta da ihtiyaç duyduğumuz en temel matematik işlemleridir. Pek çok farklı yapıyı toplayabilsek de burada yalnızca tam sayıların toplanmasıyla ilgileneceğiz.
Toplama
Toplama işlemi artı işareti + ile gösterilir. Toplarken toplananları toplarız; yani 2 + 3 işlemini yapmak istersek 2 de 3 de toplananlardır. Sonuca ise toplam denir; yani 2 + 3 = 5 ifadesinde 5 toplamdır.
Hemen her sayıyı toplayabiliriz: 1, 5, 157 gibi doğal sayıları da, -4, -74 gibi negatif sayıları da. Ayrıca rasyonel sayıları, yani kesirleri, örneğin π gibi gerçek sayıları ve son olarak karmaşık sayıları da toplayabiliriz. Başka yapıları da toplayabiliriz — matrisleri ya da vektörleri.
Toplama genellikle bir elma yığını üzerinden anlatılır — sepetinde üç elma var ve biri sana dört elma daha veriyor; kaç elman olur? 3 + 4 = 7 elman olur.
Büyük Sayılar Nasıl Toplanır
Sana 17.564 ile 3.272’yi toplama görevi versem, sonucu herhalde hemen aklından söyleyemezsin. Bu yüzden ya hesap makinesi ya da kalem ve kâğıt kullanılır. Bunu hesap makinesine nasıl tuşlayacağını sana öğretmeyeceğim; kâğıt üzerindeki yönteme odaklanalım.
Toplamak istediğimiz sayıları alt alta yazarız ve sağa yaslarız — aynı basamaklar (onlar, yüzler, …) alt alta gelsin. İki sayının altına da yatay bir çizgi çekeriz. Şöyle görünür:
Şimdi alt alta gelen sayıları toplayacağız. Toplam 10’dan küçükse toplamı doğrudan çizginin altına yazarız. Sağdan, yani en küçük basamaktan başlarız. Önce 4 + 2 işlemini yaparız; sonuç 6’dır. 6, 10’dan küçük olduğu için çizginin altına 6 yazarız:
Devam ediyoruz, 6 + 7 işlemini yapıyoruz. Sonuç 13; bu da 10’dan büyük. Bu durumda çizginin altına yalnızca birler basamağındaki rakamı, yani 3’ü yazarız (13’ten bir onluğu çıkarmış oluruz).
Ayırdığımız o 1’e ne oldu? Neyi temsil ediyor? Şu anda sağdan ikinci sütunla, yani sayıda onlar basamağını gösteren sütunla çalışıyoruz. Aslında onlukları topladık, yani 60 + 70 = 130 hesapladık. 30’u yazmaya, 100’ü ise sonraya bırakmaya karar verdik. Ne zamana? Bir sonraki adıma, bir sonraki sütuna. Bir sonraki adımda yüzler basamağındaki rakamları toplayacağız. Onlukları toplarken elde ettiğimiz fazladan bir yüzlük de elimizde var. Yapabileceğimiz en kolay şey, o yüzlüğü bir sonraki toplamaya eklemek.
Yani bir sonraki adımda 5 + 2 yerine 5 + 2 + 1 işlemini yapacağız; buradaki 1, önceki adımda elde ettiğimiz yüzlüğü temsil ediyor. Toplam 8, bu da 10’dan küçük. Çizginin altına 8 yazarız.
Bir sonraki adıma fazladan bir binlik gelmiyor, bu yüzden yalnızca 7 + 3 = 10 işlemini yaparız. Bu sayı 10’dan küçük değil, bu yüzden çizginin altına son rakamı yazarız, 1 ise elde olarak sonraki adıma gider. Çizginin altına 0 yazarız ve bir sonraki adım için fazladan bir on binlik saklarız.
Son sütunda yalnızca üst satırda bir rakam var. Alt satıra 0 yazdığımızı düşünürüz ve 1 + 0 işlemini yaparız; önceki adımdan gelen 1’i eklemeyi de unutmamalıyız: 1 + 0 + 1 = 2. Çizginin altına 2 yazarız.
Algoritma burada biter ve 17564 + 3272 toplamını elde etmiş oluruz.
Alt Alta Toplamanın Adım Adım Animasyonu
Aşağıdaki kutulara iki doğal sayı yazabilirsin; sonra tek yapman gereken tüm işlemin animasyonunu izlemek.
Toplamanın Grafikle Gösterimi
Toplamayı sayı doğrusu üzerinde grafikle gösterebiliriz. Sayı doğrusu, üzerinde tüm sayıların işaretlendiği bir doğrudur. Şöyle görünebilir:
Bu sayı doğrusunda iki sayının toplamını, örneğin 3+4’ü göstermek istersek şöyle ilerleriz: Başlangıç noktasından, yani sıfırdan başlayıp 3’te biten bir doğru parçası çizeriz. Toplarken doğru parçasını başladığımız noktanın sağına doğru çizeriz. Yani şöyle:
Şimdi sayı doğrusuna 4’ü ekleriz. Ama artık 3’ten başlıyoruz ve oradan sağa doğru uzunluğu 4 olan bir doğru parçası çiziyoruz. Şöyle:
İkinci, yeşil doğru parçasının bittiği nokta, son sonucu gösterir: 3 + 4 = 7.
Çıkarma
Çıkarma, toplamanın ters işlemidir. Bir a sayısına b sayısını eklersen ve sonra b’yi geri çıkarırsan yine a sayısını elde edersin. Yöntemi 158.748 − 99.575 örneğiyle gösterelim. Toplamada olduğu gibi bu sayıları da alt alta yazarız:
Sonucu, tıpkı toplamada olduğu gibi çizginin altına yazacağız. Sağdan, yani en küçük basamaklardan başlarız. Önce birler basamağını hesaplarız. Üstteki sayı alttaki sayıdan küçük değilse çizginin altına üstteki sayı − alttaki sayı farkını yazarız. (Ya da tersi: alttaki sayı daha küçükse veya eşitse çekinmeden çıkarabiliriz.) Birler basamağında üstteki sayı küçük değil, bu yüzden 8 − 5 = 3 farkını yazarız.
Bir basamak sola geçiyoruz, onlar basamağındayız. Burada üstteki sayı alttaki sayıdan küçük. Bu durumda üstteki sayıya 10 ekleriz ve aynı hesabı yaparız: üstteki sayı + 10 − alttaki sayı. Sonuç 4 + 10 − 7 = 14 − 7 = 7 olur.
Onlar basamağında çıkarma yaparken bir üst basamaktan ödünç alıp oraya on onluk ekledik; bunu bir sonraki adımda da hesaba katmalıyız. On onluk bir yüzlüktür, bu yüzden bir sonraki adımda bir yüzlük daha fazla çıkarırız. Yani alttaki 5’e önceki adımdan gelen 1’i ekleriz.
Yüzler basamağında 7’nin (üstteki sayı) 6’dan (alttaki sayı + 1) küçük olup olmadığına bakarız. Küçük değil, bu yüzden üstteki eksi alttaki farkını her zamanki gibi hesaplayabiliriz. Ama bu farkta da alttaki sayıya 1 eklememiz gerekir; sonuçta 7 − (5 + 1) = 7 − 5 − 1 = 1 buluruz.
Bir sonraki adıma bir şey aktarmıyoruz, çünkü bu adımda daha yüksek basamaklardan ödünç almamız gerekmedi. Bu yüzden binler basamağında hiçbir sayıya bir şey eklemeyiz. Ama üstteki sayıdaki 8, alttaki sayıdaki 9’dan küçük; bu yüzden üstteki sayıya 10 eklememiz gerekir. Böylece 8 + 10 − 9 = 9 farkını buluruz.
Bir sonraki adıma 1’i aktarıyoruz, onu alttaki sayıya ekleriz. 9 artı 1 eşittir 10; üstteki 5, 10’dan küçük. Üstteki sayıya 10 ekleriz ve farkı hesaplarız: 5 + 10 − (9 + 1) = 5.
Yine daha yüksek bir basamaktan ödünç aldık, bu yüzden 1’i bir sonraki adıma aktarıyoruz. Orada alt tarafta sayı yok, bu yüzden 0 olduğunu varsayarız. 1’i eklersek sonuç 1 olur. Üstteki sayı alttakinden küçük değil (şimdi üstteki sayı alttakine eşit), bu yüzden doğrudan çıkarabiliriz: 1 − 1 = 0.
Sonuç hazır. Baştaki 0’ı silebilir ve şunu yazabiliriz: 158.748 − 99.575 = 59.173.
Çıkarmanın Grafikle Gösterimi
Çıkarmayı da toplama gibi sayı doğrusu üzerinde gösterebiliriz. Tek fark, doğru parçasını çizerken yönünü değiştirmemizdir. Doğru parçasını bulunduğumuz noktanın sağına değil soluna çizeriz. Yani 2 − 5 işlemini yapmamız gerekseydi şöyle ilerlerdik. Önce sayı doğrusunda 2’yi pozitif yönde çizerdik, çünkü 2 pozitiftir. 5’i çıkarıyoruz, o ise ters yönde olacak.
Şimdi eksi beşi temsil eden ikinci bir doğru parçasını sayı doğrusuna çizeriz. Kaldığımız noktadan, yani 2’den başlarız. Ama doğru parçasını geriye doğru, sola doğru çizeriz.
