Sayılarda Bölme

Sayıları bölme, sayıları çarpmanın ters işlemidir. Bölme aynı zamanda iyi bir espri kaynağıdır, çünkü herkesin bildiği gibi sıfıra bölemeyiz, yoksa defterimiz yanardı.

Sayılarda Bölme Nedir

Bölmeyi, büyük bir bütünü eşit büyüklükte daha küçük parçalara ayırmak üzerinden düşünebiliriz. Diyelim ki baban uzunluğu 100 cm olan bir tahtayı beş eşit parçaya kesmek istiyor. Her bir parça ne kadar uzun olur?

Tersinden de ilerleyebiliriz — kesilen beş parçanın uzunluklarını toplarsak yeniden 100 sayısı çıkmalı. Bunu hangi sayı sağlar? 20 sayısı, çünkü 20 + 20 + 20 + 20 + 20 = 100. Toplama yerine çarpmayı da kullanabiliriz. Şunu sorabiliriz: hangi sayıyı beşle çarparsak yüz çıkar? Yine 20 sayısı, çünkü 5 · 20 = 100.

Bunu grafikle, uzunluğu 100 olan bir doğru parçasının beş eşit uzunlukta parçaya bölünmesi olarak gösterebiliriz:

100 sayısını 5 sayısına bölmek istediğimizde “100’ün içinde 5 kaç kez var” sorusunun cevabını arıyoruz. Bölmeyi ya eğik çizgiyle yazarız: 100 / 5, ya da iki nokta üst üste ile: 100 : 5. Bölme işleminin sonucuna bölüm denir. Örneklerimizde 20 sayısı, 100 ile 5’in bölümüdür. Soldaki sayıya bölünen, sağdaki sayıya bölen denir. Bölmeyi kesir olarak da yazabiliriz; 100 / 5 yerine $\frac{100}{5}$ yazabiliriz. Terimlerin özeti:

$$a:b=\frac{a}{b}=c$$

• a sayısına bölünen denir,
• b sayısına bölen denir,
• c sayısına bölüm denir.

Çarpma Yoluyla Tanım

Bölümü en kolay çarpma yoluyla tanımlayabiliriz. Örnek olarak şu bölmeyi ele alalım: 35 / 7. Sonuç ne olur? Öyle bir sayı arıyoruz ki onu 7 ile çarptığımızda 35 sayısını elde edelim. 48 / 8 bölmesini yapsaydık, 8 ile çarpınca 48 veren sayıyı arardık.

Yani 35 / 7 işleminin sonucu 5’tir, çünkü 7 · 5 = 35. 48 / 8 işleminin sonucu 6’dır, çünkü 8 · 6 = 48.

Genel olarak a / b bölmesini yaparsak sonuç, b · c = a eşitliğini sağlayan c sayısıdır.

Tüm örnekleri doğal sayılarla göstermiş olsak da çarpma yoluyla tanım sayesinde başka her türlü sayıyı da bölebiliriz. Örneğin −85,76 / 6,7 bölümünü, 6,7 · x = −85,76 eşitliğini sağlayan x sayısını arayarak bulabiliriz. Bu, x = −12,8 için sağlanır.

Sıfırı Başka Bir Sayıya Bölebiliriz

Sıfırı bir sayıya bölebiliriz; bu geçerli bir ifadedir: 0 / 15. Aslında bununla sıfırı 15 eşit parçaya bölmek istediğimizi söylüyoruz. Şöyle düşünebiliriz: hiç pastamız yok ve sahip olmadığımız bu pastayı 15 parçaya bölmek istiyoruz — her bir parça ne kadar büyük olur? Sıfır olur, çünkü zaten hiç pastamız yok. Ya da cüzdanında 0 TL olduğunu ve bu 0 TL’yi üç çocuk arasında paylaştırmak istediğini düşün. Her çocuk ne kadar alır? Koca bir sıfır, çünkü zaten hiç paran yok. Bu yüzden 0 / 15 = 0.

Sıfırı başka bir sayıya bölebiliriz, ama başka bir sayıyı sıfıra bölemeyiz. Şu ifade geçersizdir: 8 / 0.

Peki Neden Sıfıra Bölemeyiz?

Sıfıra bölemeyiz, çünkü matematik öğretmenimiz buna izin vermez.

Ama daha ikna edici nedenler de var. Şimdilik bölünenin sıfırdan farklı olduğu durumla ilgileneceğiz — bölme a / 0 biçiminde ve a ≠ 0. İki neden sayalım:

1. Bütünü daha küçük, eşit büyüklükte parçalara ayırma benzetmesinde kalalım. En havalı 15 Pokémonumuz var. Şimdi bunları sıfır çocuk arasında paylaştırmak istiyoruz. Her çocuk kaç Pokémon alır?

Nasıl yani???

Evet, soruyu doğru okudun ve evet, anlamsız. Pokémonları verebileceğimiz hiç çocuk olmadığı için her çocuğun kaç Pokémon aldığını soramayız. Bu yüzden sıfıra bölme de anlamsızdır ve x / 0 ifadesine tanımsız deriz.

2. Bölmeyi çarpma yoluyla tanımladık. Sıfıra bölmeyi, yani 15 / 0 işlemini denediğimizde x · 0 = 15 eşitliğini sağlayan bir x sayısı arıyoruz. Ama her sayının sıfırla çarpımı sıfırdır; bu eşitliği doğru kılan bir x asla bulamayız.

Peki 0/0 Bölümü Ne Olacak?

O da x / 0 gibi tanımsızdır. Nedenleri:

Bu sefer sıfır tane en havalı Pokémonumuz var ve bunları sıfır çocuk arasında paylaştırmak istiyoruz. Bu da yine anlamsız bir istek.

Bölmenin tanımına göre 0 / 0 işlemini yaparken x · 0 = 0 eşitliğini sağlayan bir x sayısı arıyoruz. Çözüm bulabiliriz, daha doğrusu: her gerçek sayı bu eşitliğin çözümüdür. x yerine 4, 1 ya da π yazsak da eşitlik sağlanır. Elbette bölmenin sonucunun tüm gerçek sayılar kümesi olması kabul edilemez, bunun anlamı yok.

Kümenin tamamından belirli bir sayı seçip 0 / 0 bölmesinin sonucunun tam olarak bu sayı olduğunu söylememiz gerekirdi. Ama hangisini? 1’e mi eşit olmalı? 8’e mi? 0’a mı? Eksi 1’e mi? Neden? Sıfır için ve bir için argümanlar sunmayı deneyelim:

1. x / x biçiminde bir kesrimiz varsa bu kesrin 1’e eşit olduğunu biliyoruz. Örneğin 7 / 7 = 1 ya da 3 / 3 = 1. Buradan 0 / 0 ifadesini 0 / 0 = 1 sağlanacak şekilde tanımlamamız gerektiği sonucunu çıkarabilirdik.
2. Doğru olduğundan emin olduğumuz şu kesirler dizisine bakalım. Her birinde sıfırı, sıfıra giderek daha çok yaklaşan bir sayıya böleceğiz:

$$\begin{array}{rcl}\frac{0}{1}& =& 0\\ \frac{0}{0,1}& =& 0\\ \frac{0}{0,01}& =& 0\\ \frac{0}{\mathrm{0,001}}& =& 0\\ \frac{0}{\mathrm{0,000}1}& =& 0\\ & \dots & \\ \frac{0}{\mathrm{0,000}0000001}& =& 0\\ & \dots & \\ \frac{0}{0}& =& 0?\end{array}$$

Sıfıra ne kadar yakın bir sayıya bölersek bölelim, bölümün sonucu olarak yine sıfır elde ettiğimizi görüyoruz. Buradan 0 / 0 = 0 sonucunu çıkarabilirdik.

Bunların ikisi de 0 / 0 bölümünü nasıl tanımlayabileceğimize dair geçerli argümanlardır. Ama hangisi daha iyi? Üstelik onlardan birini seçip tek geçerli olarak ilan etsek bile matematiğin başka kısımlarıyla çelişkiye düşerdik.

Bu yüzden sıfıra bölme, tanımsız olarak bırakılmıştır.

Sıfıra Bölmeye Karşı Son Argüman

Önceki argümanlar sana yetmediyse, birinin gerçekten sıfıra bölmeyi denediği bir olayın şu fotoğraflı belgesi belki seni ikna eder: