Sint-Petersburgparadox

De Sint-Petersburgparadox mengt statistiek, beslissen en kansrekening door elkaar. In Sint-Petersburg staat een casino dat ons een spel aanbiedt waarin we een bepaald bedrag kunnen winnen. Onze taak is te bepalen hoe hoog de eerlijke inleg voor dit spel zou zijn.

Spelregels

Als we aan het spel meedoen, begint de croupier een munt op te gooien. Als er bij de eerste worp kop valt, eindigt het spel en hebben we één euro gewonnen. Valt er munt, dan gaat het spel verder. In de tweede ronde wordt weer met de munt gegooid. Valt er kop, dan eindigt het spel en hebben we het dubbele van de vorige mogelijke winst gewonnen, dus twee euro. Valt er munt, dan gaan we verder. Valt er in de derde ronde kop, dan winnen we vier euro. Valt er in de vierde ronde kop, dan winnen we acht euro.

Als we dit generaliseren: als er in de k-de ronde kop viel, dan hebben we 2^{k − 1} euro gewonnen. De vraag is nu: hoe hoog zou de eerlijke inleg voor dit spel zijn?

Verwachtingswaarde

De eerlijke prijs zou moeten volgen uit de verwachtingswaarde. Als we bijvoorbeeld gemiddeld honderd euro kunnen winnen, zou de inleg honderd euro moeten zijn, of iets meer, zodat het casino geld verdient. Maar wat is de verwachtingswaarde in ons spel? We schrijven de kansen uit waarmee we de afzonderlijke winsten kunnen krijgen. In de eerste kolom staan de winsten, in de tweede onze kans dat we die winst behalen. De kans dat er bij de eerste worp kop valt is bijvoorbeeld $\frac{1}{2}$. De kans dat er eerst munt valt en dan kop is $\frac{1}{4}$. Enzovoort.

$$\begin{array}{cc}1& 1/2\\ 2& 1/4\\ 4& 1/8\\ 8& 1/16\\ 16& 1/32\\ \dots & \dots \end{array}$$

Hoe berekenen we nu de verwachtingswaarde? We vermenigvuldigen elk bedrag dat we kunnen krijgen met de kans waarmee we dat bedrag kunnen behalen en tellen alles op. We krijgen:

$$\begin{array}{rcl}E& =& \frac{1}{2}\cdot 1+\frac{1}{4}\cdot 2+\frac{1}{8}\cdot 4+\frac{1}{16}\cdot 8+\dots \\ & =& \frac{1}{2}+\frac{1}{2}+\frac{1}{2}+\frac{1}{2}+\dots \\ & =& \sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{2}=\mathrm{\infty }\end{array}$$

De verwachtingswaarde is oneindig. De verwachtingswaarde van de winst is dus, in het geïdealiseerde geval, oneindig veel euro. Dat klinkt niet slecht. Het probleem is dat de inleg dan ook oneindig zou moeten zijn. Dat is natuurlijk onzin.

Critici van deze paradox werpen natuurlijk tegen dat je niet oneindig lang kunt spelen, dat we niet oneindig veel geld kunnen winnen en dat je zelfs als je het maximale aantal worpen van oneindig “verlaagt” naar een eindig getal n, toch vrij snel bij bedragen komt die niemand ter wereld heeft. Na 41 worpen zou je bijvoorbeeld al 2⁴⁰ euro winnen, en dat is ongeveer een biljoen euro (duizend miljard euro). Na nog eens tien worpen zou je duizend keer zoveel geld winnen.

Eindige inleg

Oneindig veel euro zal je natuurlijk niemand als inleg geven. Toch kunnen we de paradox gedeeltelijk ook met een eindige hoeveelheid geld laten zien. Voor elk bedrag in hele euro's bestaat er namelijk een maximaal aantal muntworpen waarvoor de verwachtingswaarde uitkomt zoals we nodig hebben. Als we bijvoorbeeld een inleg van duizend euro willen, zeggen we dat het maximale aantal muntworpen 2000 is. Dan berekenen we zo'n som:

$$\sum _{k=1}^{2000}\frac{1}{2}=2000\cdot \frac{1}{2}=1000$$

De verwachtingswaarde is dan 1000 euro. Als we een inleg van I euro willen, zeggen we dat het maximale aantal muntworpen 2I is.

Natuurlijk zal geen verstandig mens bijvoorbeeld duizend euro inleggen als hij een minimale kans heeft om meer dan duizend euro te winnen.

Verdere bronnen

• Engelse Wikipedia
• Nederlandse Wikipedia