Paradoja de San Petersburgo

La paradoja de San Petersburgo mezcla estadística, toma de decisiones y probabilidad. En San Petersburgo tenemos un casino que nos ofrece un juego en el que podemos ganar una cierta cantidad de dinero. Nuestra tarea es averiguar cuál sería el precio justo de entrada a este juego.

Reglas del juego

Si entramos en el juego, el crupier empieza a lanzar una moneda. Si en el primer lanzamiento sale cara, el juego termina y hemos ganado un euro. Si sale cruz, el juego continúa. En la segunda ronda se vuelve a lanzar la moneda. Si sale cara, el juego termina y hemos ganado el doble de la ganancia posible anterior, es decir, dos euros. Si sale cruz, continuamos. Si en la tercera ronda sale cara, ganamos cuatro euros. Si sale en la cuarta ronda, ganamos ocho euros.

Generalizando: si salió cara en la ronda k, entonces hemos ganado 2^{k − 1} euros. La pregunta ahora es cuál sería el precio justo de entrada a este juego.

Esperanza matemática

El precio justo debería depender de la esperanza matemática (valor medio). Si, por ejemplo, de media podemos ganar cien euros, la entrada debería costar cien euros, o un poco más, para que el casino gane algo. ¿Pero cuál es la esperanza matemática en nuestro juego? Escribimos las probabilidades con las que podemos obtener cada una de las ganancias. En la primera columna están las ganancias, en la segunda, la probabilidad de que alcancemos esa ganancia. Por ejemplo, la probabilidad de que en el primer lanzamiento salga cara es $\frac{1}{2}$. La probabilidad de que salga primero cruz y luego cara es $\frac{1}{4}$. Etc.

$$\begin{array}{cc}1& 1/2\\ 2& 1/4\\ 4& 1/8\\ 8& 1/16\\ 16& 1/32\\ \dots & \dots \end{array}$$

¿Cómo calculamos ahora el valor medio? Multiplicamos la cantidad que podemos obtener por la probabilidad con la que podemos alcanzar esa cantidad y lo sumamos todo. Obtenemos:

$$\begin{array}{rcl}E& =& \frac{1}{2}\cdot 1+\frac{1}{4}\cdot 2+\frac{1}{8}\cdot 4+\frac{1}{16}\cdot 8+\dots \\ & =& \frac{1}{2}+\frac{1}{2}+\frac{1}{2}+\frac{1}{2}+\dots \\ & =& \sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{2}=\mathrm{\infty }\end{array}$$

La esperanza matemática es infinita. El valor medio de la ganancia es, pues, en el caso idealizado, infinitos euros. No parece mal. El problema es que, al mismo tiempo, la entrada también debería ser igual a infinito. Eso, por supuesto, es absurdo.

Los críticos de esta paradoja objetan, naturalmente, que no se puede jugar durante un tiempo infinitamente largo, que no podemos ganar infinito dinero y que incluso si «reduces» el número máximo de lanzamientos de la moneda de infinito a un número finito n, enseguida se llega a cantidades que nadie en el mundo tiene. Por ejemplo, después de 41 lanzamientos ya ganarías 2⁴⁰ euros, que son aproximadamente un billón de euros (un millón de millones de euros). Después de diez lanzamientos más ganarías mil veces más dinero.

Entrada finita

Por supuesto, nadie te va a pagar una entrada de infinitos euros. No obstante, la paradoja se puede mostrar en parte también con una cantidad finita de dinero. Para cada cantidad de euros enteros existe, en efecto, un número máximo de lanzamientos de la moneda para el que el valor medio sale como necesitamos. Si, por ejemplo, queremos una entrada de mil euros, diremos que el número máximo de lanzamientos de la moneda es 2000. Entonces calculamos esta suma:

$$\sum _{k=1}^{2000}\frac{1}{2}=2000\cdot \frac{1}{2}=1000$$

El valor medio será entonces 1000 euros. Si queremos una entrada de D euros, diremos que el número máximo de lanzamientos de la moneda es 2D.

Por supuesto, ninguna persona razonable pagará una entrada de, por ejemplo, mil euros si tiene una probabilidad mínima de ganar más de mil euros.

Más fuentes

• Wikipedia en inglés
• Wikipedia en español