Το παράδοξο της Αγίας Πετρούπολης

Το παράδοξο της Αγίας Πετρούπολης αναμειγνύει τη στατιστική, τη λήψη αποφάσεων και τις πιθανότητες. Στην Αγία Πετρούπολη έχουμε ένα καζίνο που μας προσφέρει ένα παιχνίδι, στο οποίο μπορούμε να κερδίσουμε ένα συγκεκριμένο ποσό χρημάτων. Δική μας δουλειά είναι να βρούμε ποιο θα ήταν το δίκαιο αντίτιμο συμμετοχής σε αυτό το παιχνίδι.

Κανόνες του παιχνιδιού

Αν μπούμε στο παιχνίδι, ο υπάλληλος αρχίζει να ρίχνει ένα νόμισμα. Αν στην πρώτη ρίψη έρθει κορώνα, το παιχνίδι τελειώνει και κερδίσαμε ένα ευρώ. Αν έρθουν γράμματα, το παιχνίδι συνεχίζεται. Στον δεύτερο γύρο ρίχνουμε πάλι το νόμισμα. Αν έρθει κορώνα, το παιχνίδι τελειώνει και κερδίσαμε το διπλάσιο του προηγούμενου δυνατού κέρδους, δηλαδή δύο ευρώ. Αν έρθουν γράμματα, συνεχίζουμε. Αν στον τρίτο γύρο έρθει κορώνα, κερδίζουμε τέσσερα ευρώ. Αν στον τέταρτο γύρο έρθει κορώνα, κερδίζουμε οκτώ ευρώ.

Αν το γενικεύσουμε – αν η κορώνα ήρθε στον k-οστό γύρο, τότε κερδίσαμε 2^{k − 1} ευρώ. Το ερώτημα τώρα είναι ποιο θα ήταν το δίκαιο αντίτιμο συμμετοχής σε αυτό το παιχνίδι;

Αναμενόμενη τιμή

Η δίκαιη τιμή θα πρέπει να προκύπτει από την αναμενόμενη τιμή. Αν για παράδειγμα κατά μέσο όρο μπορούμε να κερδίσουμε εκατό ευρώ, το αντίτιμο συμμετοχής θα έπρεπε να είναι εκατό ευρώ, ή λίγο παραπάνω, για να βγάζει κέρδος το καζίνο. Ποια είναι όμως η αναμενόμενη τιμή στο παιχνίδι μας; Θα γράψουμε τις πιθανότητες με τις οποίες μπορούμε να πάρουμε τα επιμέρους κέρδη. Στην πρώτη στήλη είναι τα κέρδη, στη δεύτερη η πιθανότητά μας να φτάσουμε στο συγκεκριμένο κέρδος. Για παράδειγμα, η πιθανότητα να έρθει κορώνα στην πρώτη ρίψη είναι $\frac{1}{2}$. Η πιθανότητα να έρθουν πρώτα γράμματα και μετά κορώνα είναι $\frac{1}{4}$. Κ.ο.κ.

$$\begin{array}{cc}1& 1/2\\ 2& 1/4\\ 4& 1/8\\ 8& 1/16\\ 16& 1/32\\ \dots & \dots \end{array}$$

Πώς υπολογίζουμε τώρα την αναμενόμενη τιμή; Πολλαπλασιάζουμε το ποσό που μπορούμε να κερδίσουμε με την πιθανότητα με την οποία μπορούμε να φτάσουμε σε αυτό το ποσό και τα προσθέτουμε όλα. Παίρνουμε:

$$\begin{array}{rcl}E& =& \frac{1}{2}\cdot 1+\frac{1}{4}\cdot 2+\frac{1}{8}\cdot 4+\frac{1}{16}\cdot 8+\dots \\ & =& \frac{1}{2}+\frac{1}{2}+\frac{1}{2}+\frac{1}{2}+\dots \\ & =& \sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{2}=\mathrm{\infty }\end{array}$$

Η αναμενόμενη τιμή είναι άπειρη. Η αναμενόμενη τιμή του κέρδους είναι λοιπόν, στην ιδανική περίπτωση, άπειρα ευρώ. Αυτό δεν φαίνεται άσχημο. Το πρόβλημα είναι ότι ταυτόχρονα και το αντίτιμο συμμετοχής θα έπρεπε να είναι ίση με το άπειρο. Αυτό είναι φυσικά παράλογο.

Οι επικριτές αυτού του παραδόξου φυσικά αντιτείνουν ότι δεν μπορείς να παίζεις άπειρο χρόνο, ότι δεν μπορούμε να κερδίσουμε άπειρα χρήματα και ότι ακόμα κι αν «μειώσεις» τον μέγιστο αριθμό ρίψεων του νομίσματος από το άπειρο σε κάποιον πεπερασμένο αριθμό n, πάλι αρκετά σύντομα φτάνεις σε ποσά που δεν τα έχει κανείς στον κόσμο. Για παράδειγμα, μετά από 41 ρίψεις θα κέρδιζες ήδη 2⁴⁰ ευρώ, που είναι περίπου ένα τρισεκατομμύριο ευρώ (χίλια δισεκατομμύρια ευρώ). Μετά από άλλες δέκα ρίψεις θα κέρδιζες χίλιες φορές περισσότερα χρήματα.

Πεπερασμένο αντίτιμο συμμετοχής

Άπειρα ευρώ φυσικά κανείς δεν θα σου δώσει ως αντίτιμο συμμετοχής. Παρ' όλα αυτά το παράδοξο μπορεί να παρουσιαστεί εν μέρει και με πεπερασμένο ποσό χρημάτων. Για κάθε ποσό σε ακέραια ευρώ υπάρχει ένας μέγιστος αριθμός ρίψεων νομίσματος, για τον οποίο η αναμενόμενη τιμή βγαίνει όση χρειαζόμαστε. Αν για παράδειγμα θέλουμε αντίτιμο συμμετοχής χίλια ευρώ, λέμε ότι ο μέγιστος αριθμός ρίψεων είναι 2000. Τότε υπολογίζουμε το εξής άθροισμα:

$$\sum _{k=1}^{2000}\frac{1}{2}=2000\cdot \frac{1}{2}=1000$$

Η αναμενόμενη τιμή θα είναι τότε 1000 ευρώ. Αν θέλουμε αντίτιμο συμμετοχής D ευρώ, λέμε ότι ο μέγιστος αριθμός ρίψεων νομίσματος είναι 2D.

Φυσικά κανένας λογικός άνθρωπος δεν θα πληρώσει για παράδειγμα χίλια ευρώ για να παίξει, αν έχει εντελώς ελάχιστη πιθανότητα να κερδίσει περισσότερα από χίλια ευρώ.

Άλλες πηγές

• Αγγλική Wikipedia