Paradoxo de São Petersburgo

O paradoxo de São Petersburgo mistura estatística, tomada de decisão e probabilidade. Em São Petersburgo existe um cassino que nos oferece um jogo no qual podemos ganhar certa quantia de dinheiro. A nossa tarefa é descobrir qual seria o preço justo de entrada nesse jogo.

Regras do jogo

Se entrarmos no jogo, o crupiê começa a lançar uma moeda. Se no primeiro lançamento sair cara, o jogo termina e ganhamos um real. Se sair coroa, o jogo continua. Na segunda rodada, a moeda é lançada novamente. Se sair cara, o jogo termina e ganhamos o dobro do possível ganho anterior, isto é, dois reais. Se sair coroa, continuamos. Se na terceira rodada sair cara, ganhamos quatro reais. Se sair na quarta rodada, ganhamos oito reais.

Generalizando: se saiu cara na k-ésima rodada, então ganhamos 2^{k − 1} reais. A pergunta agora é: qual seria o preço justo de entrada nesse jogo?

Valor esperado

O preço justo deveria depender do valor esperado (esperança matemática). Se, por exemplo, em média podemos ganhar cem reais, o preço de entrada deveria ser cem reais, ou um pouco mais, para que o cassino lucre. Mas qual é o valor esperado no nosso jogo? Vamos escrever as probabilidades com que podemos obter cada ganho. Na primeira coluna estão os ganhos, na segunda a nossa chance de atingir esse ganho. Por exemplo, a chance de sair cara no primeiro lançamento é $\frac{1}{2}$. A chance de sair primeiro coroa e depois cara é $\frac{1}{4}$. E assim por diante.

$$\begin{array}{cc}1& 1/2\\ 2& 1/4\\ 4& 1/8\\ 8& 1/16\\ 16& 1/32\\ \dots & \dots \end{array}$$

Como calculamos agora a esperança? Multiplicamos a quantia que podemos obter pela probabilidade com que podemos atingi-la e somamos tudo. Obtemos:

$$\begin{array}{rcl}E& =& \frac{1}{2}\cdot 1+\frac{1}{4}\cdot 2+\frac{1}{8}\cdot 4+\frac{1}{16}\cdot 8+\dots \\ & =& \frac{1}{2}+\frac{1}{2}+\frac{1}{2}+\frac{1}{2}+\dots \\ & =& \sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{2}=\mathrm{\infty }\end{array}$$

O valor esperado é infinito. A esperança do ganho é, portanto, no caso idealizado, infinitos reais. Isso não parece ruim. O problema é que, ao mesmo tempo, a entrada também deveria ser igual ao infinito. Isso, claro, é um absurdo.

Os críticos desse paradoxo objetam, claro, que não é possível jogar por um tempo infinito, não podemos ganhar uma quantia infinita de dinheiro e, mesmo que você “reduza” o número máximo de lançamentos da moeda de infinito para algum número finito n, ainda assim você chega bem cedo a quantias que ninguém no mundo tem. Por exemplo, depois de 41 lançamentos você já ganharia 2⁴⁰ reais, o que é aproximadamente um trilhão de reais (mil bilhões de reais). Depois de mais dez lançamentos, você ganharia mil vezes mais dinheiro.

Entrada finita

Claro que ninguém vai lhe pagar uma entrada de infinitos reais. No entanto, o paradoxo pode ser demonstrado em parte também com uma quantia finita de dinheiro. Para cada quantia em reais inteiros existe, de fato, um número máximo de lançamentos da moeda para o qual o valor esperado sai como precisamos. Se, por exemplo, queremos uma entrada de mil reais, dizemos que o número máximo de lançamentos é 2000. Então calculamos esta soma:

$$\sum _{k=1}^{2000}\frac{1}{2}=2000\cdot \frac{1}{2}=1000$$

O valor esperado será, então, de 1000 reais. Se queremos uma entrada no valor de D reais, dizemos que o número máximo de lançamentos é 2D.

Claro que nenhuma pessoa sensata pagaria, por exemplo, mil reais de entrada se tem uma chance absolutamente mínima de ganhar mais de mil reais.

Outras fontes

• Wikipédia