S:t Petersburgparadoxen

S:t Petersburgparadoxen blandar statistik, beslutsfattande och sannolikhet. I S:t Petersburg finns ett kasino som erbjuder oss ett spel där vi kan vinna en viss summa pengar. Vår uppgift är att ta reda på vilken insats som vore rättvis för att få delta i spelet.

Spelreglerna

Om vi går med i spelet börjar croupiern singla slant. Om det blir klave i första kastet tar spelet slut och vi har vunnit 1 kr. Om det blir krona fortsätter spelet. I andra omgången singlas slanten igen. Om det blir klave tar spelet slut och vi har vunnit dubbelt så mycket som den tidigare möjliga vinsten, alltså 2 kr. Om det blir krona fortsätter vi. Blir det klave i tredje omgången vinner vi 4 kr. Blir det klave i fjärde omgången vinner vi 8 kr.

Om vi generaliserar — om det blev klave i omgång k har vi vunnit 2^{k − 1} kr. Frågan är nu vilken insats som vore rättvis för det här spelet.

Väntevärde

Ett rättvist pris bör utgå från väntevärdet. Om vi till exempel i genomsnitt kan vinna hundra kronor bör insatsen vara hundra kronor, eller lite mer så att kasinot tjänar pengar. Men vad är väntevärdet i vårt spel? Vi skriver upp sannolikheterna för de olika vinsterna. I första kolumnen står vinsterna, i den andra vår chans att nå den vinsten. Till exempel är chansen att få klave i första kastet $\frac{1}{2}$. Chansen att först få krona och sedan klave är $\frac{1}{4}$. Och så vidare.

$$\begin{array}{cc}1& 1/2\\ 2& 1/4\\ 4& 1/8\\ 8& 1/16\\ 16& 1/32\\ \dots & \dots \end{array}$$

Hur räknar vi nu ut väntevärdet? Vi multiplicerar varje belopp vi kan få med sannolikheten att vi når det beloppet och adderar allt. Vi får:

$$\begin{array}{rcl}E& =& \frac{1}{2}\cdot 1+\frac{1}{4}\cdot 2+\frac{1}{8}\cdot 4+\frac{1}{16}\cdot 8+\dots \\ & =& \frac{1}{2}+\frac{1}{2}+\frac{1}{2}+\frac{1}{2}+\dots \\ & =& \sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{2}=\mathrm{\infty }\end{array}$$

Väntevärdet är oändligt. Väntevärdet för vinsten är alltså, i det idealiserade fallet, oändligt många kronor. Det låter inte illa. Problemet är att då borde även insatsen vara lika med oändligheten. Det är förstås nonsens.

Kritiker av paradoxen invänder naturligtvis att man inte kan spela oändligt länge, att vi inte kan vinna oändligt mycket pengar, och att även om du ”sänker” det största antalet kast från oändligheten till något ändligt tal n, så hamnar du ändå ganska snart på belopp som ingen i världen har. Efter 41 kast skulle du till exempel ha vunnit 2⁴⁰ kronor, vilket är ungefär en biljon kronor (tusen miljarder kronor). Efter ytterligare tio kast skulle du ha vunnit tusen gånger mer.

Ändlig insats

Ingen ger dig förstås oändligt många kronor som insats. Paradoxen går ändå att delvis visa med ett ändligt belopp. För varje belopp i hela kronor finns nämligen ett största antal myntkast för vilket väntevärdet blir det vi behöver. Om vi till exempel vill ha insatsen tusen kronor säger vi att det största antalet kast är 2000. Då räknar vi ut följande summa:

$$\sum _{k=1}^{2000}\frac{1}{2}=2000\cdot \frac{1}{2}=1000$$

Väntevärdet blir då 1000 kronor. Om vi vill ha insatsen D kronor säger vi att det största antalet kast är 2D.

Men ingen förnuftig människa betalar förstås en insats på till exempel tusen kronor om chansen att vinna mer än tusen kronor är så gott som obefintlig.

Ytterligare källor

• Engelska Wikipedia