Sankt-Petersburg-Paradoxon

Das Sankt-Petersburg-Paradoxon verbindet Statistik, Entscheidungstheorie und Wahrscheinlichkeit. In Sankt Petersburg gibt es ein Casino, das uns ein Spiel anbietet, bei dem wir eine bestimmte Geldsumme gewinnen können. Unsere Aufgabe ist es, herauszufinden, wie hoch der faire Einsatz für dieses Spiel wäre.

Spielregeln

Wenn wir ins Spiel einsteigen, beginnt der Croupier, eine Münze zu werfen. Fällt im ersten Wurf Kopf, endet das Spiel und wir haben einen Euro gewonnen. Fällt Zahl, geht das Spiel weiter. In der zweiten Runde wird wieder die Münze geworfen. Fällt Kopf, endet das Spiel und wir haben das Doppelte des vorherigen möglichen Gewinns gewonnen, also zwei Euro. Fällt Zahl, machen wir weiter. Fällt in der dritten Runde Kopf, gewinnen wir vier Euro. Fällt in der vierten Runde Kopf, gewinnen wir acht Euro.

Allgemein gilt: Fiel Kopf in der k-ten Runde, dann haben wir 2^{k − 1} Euro gewonnen. Die Frage lautet nun, wie hoch der faire Einsatz für dieses Spiel wäre.

Erwartungswert

Der faire Preis sollte sich am Erwartungswert orientieren. Wenn wir zum Beispiel im Durchschnitt hundert Euro gewinnen können, sollte der Einsatz hundert Euro betragen, beziehungsweise etwas mehr, damit das Casino daran verdient. Wie hoch ist aber der Erwartungswert in unserem Spiel? Wir schreiben die Wahrscheinlichkeiten auf, mit denen wir die einzelnen Gewinne erzielen können. In der ersten Spalte stehen die Gewinne, in der zweiten die Wahrscheinlichkeit, dass wir den jeweiligen Gewinn erreichen. Zum Beispiel beträgt die Wahrscheinlichkeit, dass im ersten Wurf Kopf fällt, $\frac{1}{2}$. Die Wahrscheinlichkeit, dass zuerst Zahl und dann Kopf fällt, beträgt $\frac{1}{4}$. Und so weiter.

$$\begin{array}{cc}1& 1/2\\ 2& 1/4\\ 4& 1/8\\ 8& 1/16\\ 16& 1/32\\ \dots & \dots \end{array}$$

Wie berechnen wir nun den Erwartungswert? Wir multiplizieren jeden Betrag, den wir erhalten können, mit der Wahrscheinlichkeit, mit der wir ihn erreichen, und addieren alles. Wir erhalten:

$$\begin{array}{rcl}E& =& \frac{1}{2}\cdot 1+\frac{1}{4}\cdot 2+\frac{1}{8}\cdot 4+\frac{1}{16}\cdot 8+\dots \\ & =& \frac{1}{2}+\frac{1}{2}+\frac{1}{2}+\frac{1}{2}+\dots \\ & =& \sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{2}=\mathrm{\infty }\end{array}$$

Der Erwartungswert ist unendlich. Der erwartete Gewinn beträgt also im idealisierten Fall unendlich viele Euro. Das klingt nicht schlecht. Das Problem ist, dass dann auch der Einsatz unendlich hoch sein müsste. Das ist natürlich Unsinn.

Kritiker dieses Paradoxons wenden selbstverständlich ein, dass du nicht unendlich lange spielen kannst, dass wir nicht unendlich viel Geld gewinnen können und dass du selbst dann, wenn du die maximale Anzahl der Münzwürfe von unendlich auf eine endliche Zahl n „herabsetzt“, schon recht bald bei Beträgen ankommst, die niemand auf der Welt besitzt. Nach 41 Würfen hättest du zum Beispiel schon 2⁴⁰ Euro gewonnen, das ist ungefähr eine Billion Euro (tausend Milliarden Euro). Nach weiteren zehn Würfen hättest du tausendmal mehr Geld gewonnen.

Endlicher Einsatz

Unendlich viele Euro wird dir natürlich niemand als Einsatz geben. Dennoch lässt sich das Paradoxon teilweise auch mit einem endlichen Geldbetrag zeigen. Für jeden ganzzahligen Eurobetrag gibt es nämlich eine maximale Anzahl von Münzwürfen, bei der der Erwartungswert genau so groß ist, wie wir ihn brauchen. Möchten wir zum Beispiel einen Einsatz von tausend Euro haben, legen wir die maximale Anzahl der Münzwürfe auf 2000 fest. Dann berechnen wir folgende Summe:

$$\sum _{k=1}^{2000}\frac{1}{2}=2000\cdot \frac{1}{2}=1000$$

Der Erwartungswert beträgt dann 1000 Euro. Wollen wir einen Einsatz in Höhe von D Euro haben, legen wir die maximale Anzahl der Münzwürfe auf 2D fest.

Natürlich zahlt aber kein vernünftiger Mensch zum Beispiel tausend Euro Einsatz, wenn er nur eine verschwindend geringe Chance hat, mehr als tausend Euro zu gewinnen.

Weitere Quellen

• Englische Wikipedia
• Deutsche Wikipedia