Paradoxul de la Sankt Petersburg

Paradoxul de la Sankt Petersburg amestecă statistica, luarea deciziilor și probabilitatea. În Sankt Petersburg există un cazino care ne oferă un joc în care putem câștiga o anumită sumă de bani. Sarcina noastră este să aflăm care ar fi taxa de intrare corectă la acest joc.

Regulile jocului

Dacă intrăm în joc, crupierul începe să arunce o monedă. Dacă la prima aruncare apare cap, jocul se termină și am câștigat un euro. Dacă apare pajură, jocul continuă. În a doua rundă se aruncă din nou moneda. Dacă apare cap, jocul se termină și am câștigat dublul câștigului posibil anterior, adică doi euro. Dacă apare pajură, continuăm. Dacă în a treia rundă apare cap, câștigăm patru euro. Dacă apare în a patra rundă, câștigăm opt euro.

Generalizând – dacă a apărut cap în runda a k-a, atunci am câștigat 2^{k − 1} euro. Întrebarea este acum care ar fi taxa de intrare corectă la acest joc?

Valoarea medie

Prețul corect ar trebui să se bazeze pe valoarea așteptată (medie). Dacă, de exemplu, în medie putem câștiga o sută de euro, taxa de intrare ar trebui să fie de o sută de euro, sau puțin mai mult, ca să câștige și cazinoul. Dar care este valoarea așteptată în jocul nostru? Să scriem probabilitățile cu care putem obține fiecare câștig. În prima coloană sunt câștigurile, în a doua este șansa să ajungem la câștigul respectiv. De exemplu, șansa ca la prima aruncare să apară cap este $\frac{1}{2}$. Șansa ca mai întâi să apară pajură și apoi cap este $\frac{1}{4}$. Și așa mai departe.

$$\begin{array}{cc}1& 1/2\\ 2& 1/4\\ 4& 1/8\\ 8& 1/16\\ 16& 1/32\\ \dots & \dots \end{array}$$

Cum calculăm acum valoarea medie? Înmulțim fiecare sumă pe care o putem câștiga cu probabilitatea cu care o putem obține și adunăm totul. Obținem:

$$\begin{array}{rcl}E& =& \frac{1}{2}\cdot 1+\frac{1}{4}\cdot 2+\frac{1}{8}\cdot 4+\frac{1}{16}\cdot 8+\dots \\ & =& \frac{1}{2}+\frac{1}{2}+\frac{1}{2}+\frac{1}{2}+\dots \\ & =& \sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{2}=\mathrm{\infty }\end{array}$$

Valoarea așteptată este infinită. Câștigul mediu este deci, în cazul ideal, un număr infinit de euro. Nu sună rău. Problema este că, în același timp, și taxa de intrare ar trebui să fie egală cu infinit. Asta este, desigur, o absurditate.

Criticii acestui paradox obiectează, desigur, că nu poți juca un timp infinit de lung, că nu putem câștiga o sumă infinită de bani și că, chiar dacă „reduci” numărul maxim de aruncări ale monedei de la infinit la un număr finit n, ajungi destul de repede la sume pe care nu le are nimeni pe lume. De exemplu, după 41 de aruncări ai câștiga deja 2⁴⁰ euro, adică aproximativ un bilion de euro (o mie de miliarde de euro). După încă zece aruncări ai câștiga de o mie de ori mai mult.

Taxa de intrare finită

Desigur, nimeni nu îți va da un număr infinit de euro drept taxă de intrare. Totuși, paradoxul poate fi demonstrat parțial și cu o sumă finită de bani. Pentru fiecare sumă în euro întregi există, într-adevăr, un număr maxim de aruncări ale monedei pentru care valoarea medie iese cea de care avem nevoie. Dacă, de exemplu, vrem o taxă de intrare de o mie de euro, spunem că numărul maxim de aruncări este 2000. Atunci calculăm următoarea sumă:

$$\sum _{k=1}^{2000}\frac{1}{2}=2000\cdot \frac{1}{2}=1000$$

Valoarea medie va fi atunci 1000 de euro. Dacă vrem o taxă de intrare de D euro, spunem că numărul maxim de aruncări ale monedei este 2D.

Desigur, niciun om rezonabil nu va plăti, de exemplu, o mie de euro taxă de intrare dacă are o șansă absolut minimă să câștige mai mult de o mie de euro.

Alte surse

• Wikipedia în engleză
• Wikipedia în română