Paradosso di San Pietroburgo

Il paradosso di San Pietroburgo mescola statistica, decisioni e probabilità. A San Pietroburgo c’è un casinò che ci offre un gioco in cui possiamo vincere una certa somma di denaro. Il nostro compito è stabilire quale sarebbe una quota d’ingresso equa per questo gioco.

Regole del gioco

Se partecipiamo al gioco, il croupier comincia a lanciare una moneta. Se al primo lancio esce testa, il gioco finisce e abbiamo vinto un euro. Se esce croce, il gioco continua. Al secondo turno si lancia di nuovo la moneta. Se esce testa, il gioco finisce e abbiamo vinto il doppio della possibile vincita precedente, cioè due euro. Se esce croce, andiamo avanti. Se al terzo turno esce testa, vinciamo quattro euro. Se esce al quarto turno, vinciamo otto euro.

Generalizzando: se è uscita testa al turno k, allora abbiamo vinto 2^{k − 1} euro. La domanda ora è: quale sarebbe una quota d’ingresso equa per questo gioco?

Valore atteso

Il prezzo equo dovrebbe dipendere dal valore atteso (valore medio). Se, per esempio, in media possiamo vincere cento euro, la quota d’ingresso dovrebbe essere di cento euro, o un po’ di più, perché il casinò guadagni qualcosa. Ma qual è il valore atteso nel nostro gioco? Scriviamo le probabilità con cui possiamo ottenere le singole vincite. Nella prima colonna ci sono le vincite, nella seconda la nostra probabilità di raggiungere quella vincita. Per esempio, la probabilità che al primo lancio esca testa è $\frac{1}{2}$. La probabilità che esca prima croce e poi testa è $\frac{1}{4}$. Eccetera.

$$\begin{array}{cc}1& 1/2\\ 2& 1/4\\ 4& 1/8\\ 8& 1/16\\ 16& 1/32\\ \dots & \dots \end{array}$$

Come calcoliamo ora il valore medio? Moltiplichiamo la somma che possiamo ottenere per la probabilità con cui possiamo raggiungerla e sommiamo tutto. Otteniamo:

$$\begin{array}{rcl}E& =& \frac{1}{2}\cdot 1+\frac{1}{4}\cdot 2+\frac{1}{8}\cdot 4+\frac{1}{16}\cdot 8+\dots \\ & =& \frac{1}{2}+\frac{1}{2}+\frac{1}{2}+\frac{1}{2}+\dots \\ & =& \sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{2}=\mathrm{\infty }\end{array}$$

Il valore atteso è infinito. Il valore medio della vincita è quindi, nel caso idealizzato, infiniti euro. Non sembra male. Il problema è che allo stesso tempo anche la quota d’ingresso dovrebbe essere infinita. Questo ovviamente è assurdo.

I critici di questo paradosso obiettano naturalmente che non si può giocare per un tempo infinitamente lungo, che non possiamo vincere una somma infinita e che perfino se «riduci» il numero massimo di lanci della moneta da infinito a un numero finito n, si arriva comunque abbastanza presto a somme che nessuno al mondo possiede. Per esempio, dopo 41 lanci avresti già vinto 2⁴⁰ euro, che sono circa mille miliardi di euro (un bilione). Dopo altri dieci lanci avresti vinto mille volte più denaro.

Quota d’ingresso finita

Infiniti euro, ovviamente, nessuno te li darà come quota d’ingresso. Tuttavia il paradosso si può mostrare in parte anche con una quantità finita di denaro. Per ogni somma in euro interi esiste infatti un numero massimo di lanci per cui il valore medio risulta quello desiderato. Se, per esempio, vogliamo una quota d’ingresso di mille euro, diciamo che il numero massimo di lanci è 2000. Allora calcoliamo la somma:

$$\sum _{k=1}^{2000}\frac{1}{2}=2000\cdot \frac{1}{2}=1000$$

Il valore medio sarà allora 1000 euro. Se vogliamo una quota d’ingresso di D euro, diciamo che il numero massimo di lanci è 2D.

Naturalmente, però, nessuna persona ragionevole pagherà una quota d’ingresso di, per esempio, mille euro se ha una probabilità minima di vincere più di mille euro.

Altre fonti

• Wikipedia in inglese
• Wikipedia in italiano