Sankt Petersburg-paradokset

Sankt Petersburg-paradokset blander sammen statistikk, beslutninger og sannsynlighet. I Sankt Petersburg har vi et kasino som tilbyr oss et spill der vi kan vinne en viss sum penger. Oppgaven vår er å finne ut hva som ville være en rettferdig innsats i dette spillet.

Reglene i spillet

Hvis vi blir med i spillet, begynner spillverten å kaste en mynt. Hvis det kommer krone i første kast, er spillet slutt, og vi har vunnet én euro. Hvis det kommer mynt, fortsetter spillet. I andre runde kastes mynten igjen. Hvis det kommer krone, er spillet slutt, og vi har vunnet det dobbelte av den forrige mulige gevinsten, altså to euro. Hvis det kommer mynt, fortsetter vi. Kommer det krone i tredje runde, vinner vi fire euro. Kommer det krone i fjerde runde, vinner vi åtte euro.

Når vi generaliserer — hvis det kom krone i k-te runde, vant vi 2^{k − 1} euro. Spørsmålet er nå hva som ville være en rettferdig innsats i dette spillet.

Forventningsverdi

Den rettferdige prisen bør ta utgangspunkt i forventningsverdien. Hvis vi for eksempel i gjennomsnitt kan vinne hundre euro, bør innsatsen være hundre euro, eller litt mer, slik at kasinoet tjener. Men hva er forventningsverdien i vårt spill? Vi skriver ut sannsynlighetene for at vi kan få de enkelte gevinstene. I den første kolonnen står gevinstene, i den andre sjansen vår for å oppnå den aktuelle gevinsten. For eksempel er sjansen for at det kommer krone i første kast, $\frac{1}{2}$. Sjansen for at det først kommer mynt og så krone, er $\frac{1}{4}$. Osv.

$$\begin{array}{cc}1& 1/2\\ 2& 1/4\\ 4& 1/8\\ 8& 1/16\\ 16& 1/32\\ \dots & \dots \end{array}$$

Hvordan regner vi nå ut forventningsverdien? Vi multipliserer beløpet vi kan få med sannsynligheten for å oppnå det beløpet, og legger sammen alt. Vi får:

$$\begin{array}{rcl}E& =& \frac{1}{2}\cdot 1+\frac{1}{4}\cdot 2+\frac{1}{8}\cdot 4+\frac{1}{16}\cdot 8+\dots \\ & =& \frac{1}{2}+\frac{1}{2}+\frac{1}{2}+\frac{1}{2}+\dots \\ & =& \sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{2}=\mathrm{\infty }\end{array}$$

Forventningsverdien er uendelig. Forventet gevinst er dermed, i det idealiserte tilfellet, uendelig mange euro. Det ser ikke dårlig ut. Problemet er at innsatsen samtidig også burde være lik uendelig. Det er selvsagt tull.

Kritikere av dette paradokset innvender selvsagt at du ikke kan spille uendelig lenge, at vi ikke kan vinne uendelig mye penger, og at selv om du «reduserer» det maksimale antallet myntkast fra uendelig til et endelig tall n, kommer du likevel ganske snart opp i beløp som ingen i verden har. For eksempel ville du etter 41 kast allerede ha vunnet 2⁴⁰ euro, som er omtrent én billion euro (tusen milliarder euro). Etter ti kast til ville du ha vunnet tusen ganger mer penger.

Endelig innsats

Uendelig mange euro vil selvsagt ingen betale i innsats. Likevel kan paradokset delvis vises også med et endelig pengebeløp. For hvert beløp i hele euro finnes det nemlig et maksimalt antall myntkast som gir den forventningsverdien vi trenger. Hvis vi for eksempel vil ha en innsats på tusen euro, sier vi at det maksimale antallet myntkast er 2000. Da regner vi ut en slik sum:

$$\sum _{k=1}^{2000}\frac{1}{2}=2000\cdot \frac{1}{2}=1000$$

Forventningsverdien blir da 1000 euro. Hvis vi vil ha en innsats på D euro, sier vi at det maksimale antallet myntkast er 2D.

Selvsagt vil likevel ingen fornuftig person betale for eksempel tusen euro i innsats hvis han har helt minimal sjanse for å vinne mer enn tusen euro.

Flere kilder

• Engelsk Wikipedia