Skt. Petersborg-paradokset

Skt. Petersborg-paradokset blander statistik, beslutningsteori og sandsynlighed. I Sankt Petersborg ligger et kasino, som tilbyder os et spil, hvor vi kan vinde et vist beløb. Vores opgave er at finde ud af, hvad en fair indsats i dette spil ville være.

Spillets regler

Hvis vi går med i spillet, begynder croupieren at kaste en mønt. Hvis det første kast giver krone, slutter spillet, og vi har vundet én euro. Hvis det giver plat, fortsætter spillet. I anden runde kastes der igen. Giver det krone, slutter spillet, og vi har vundet det dobbelte af den forrige mulige gevinst, altså to euro. Giver det plat, fortsætter vi. Hvis der kommer krone i tredje runde, vinder vi fire euro. Kommer der krone i fjerde runde, vinder vi otte euro.

Hvis vi generaliserer – kom der krone i den k'te runde, så har vi vundet 2^{k − 1} euro. Spørgsmålet lyder nu, hvad en fair indsats i dette spil ville være.

Forventet værdi

En fair pris bør tage udgangspunkt i den forventede værdi (middelværdien). Hvis vi for eksempel i gennemsnit kan vinde hundrede euro, bør indsatsen være hundrede euro, eller en smule mere, så kasinoet tjener penge. Men hvad er den forventede værdi i vores spil? Vi skriver op, med hvilke sandsynligheder vi kan få de enkelte gevinster. I første kolonne står gevinsterne, i anden kolonne vores chance for at nå netop den gevinst. For eksempel er chancen for, at det første kast giver krone, $\frac{1}{2}$. Chancen for, at vi først får plat og derefter krone, er $\frac{1}{4}$. Og så videre.

$$\begin{array}{cc}1& 1/2\\ 2& 1/4\\ 4& 1/8\\ 8& 1/16\\ 16& 1/32\\ \dots & \dots \end{array}$$

Hvordan beregner vi nu middelværdien? Vi ganger hvert beløb, vi kan vinde, med sandsynligheden for at nå netop det beløb og lægger det hele sammen. Vi får:

$$\begin{array}{rcl}E& =& \frac{1}{2}\cdot 1+\frac{1}{4}\cdot 2+\frac{1}{8}\cdot 4+\frac{1}{16}\cdot 8+\dots \\ & =& \frac{1}{2}+\frac{1}{2}+\frac{1}{2}+\frac{1}{2}+\dots \\ & =& \sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{2}=\mathrm{\infty }\end{array}$$

Den forventede værdi er uendelig. Middelværdien af gevinsten er altså i det idealiserede tilfælde uendeligt mange euro. Det lyder ikke dårligt. Problemet er, at indsatsen i så fald også skulle være uendelig. Det er selvfølgelig noget sludder.

Kritikere af paradokset indvender naturligvis, at man ikke kan spille uendeligt længe, at vi ikke kan vinde uendeligt mange penge, og at selv hvis du »sænker« det maksimale antal møntkast fra uendeligt til et endeligt tal n, så kommer du alligevel ret hurtigt op på beløb, som ingen i verden har. For eksempel ville du efter 41 kast allerede have vundet 2⁴⁰ euro, hvilket er cirka en billion euro (tusind milliarder euro). Efter yderligere ti kast ville du have vundet tusind gange så meget.

Endelig indsats

Uendeligt mange euro vil ingen selvfølgelig give dig i indsats. Men paradokset kan også delvis demonstreres med et endeligt beløb. For ethvert helt antal euro findes der nemlig et maksimalt antal møntkast, for hvilket middelværdien bliver præcis den, vi har brug for. Hvis vi for eksempel vil have en indsats på tusind euro, siger vi, at det maksimale antal møntkast er 2000. Så beregner vi følgende sum:

$$\sum _{k=1}^{2000}\frac{1}{2}=2000\cdot \frac{1}{2}=1000$$

Middelværdien bliver så 1000 euro. Vil vi have en indsats på D euro, siger vi, at det maksimale antal møntkast er 2D.

Men intet fornuftigt menneske vil selvfølgelig betale for eksempel tusind euro i indsats, hvis chancen for at vinde mere end tusind euro er helt minimal.

Flere kilder

• Engelsk Wikipedia
• Dansk Wikipedia