Paradoxe de Saint-Pétersbourg

Le paradoxe de Saint-Pétersbourg mêle statistiques, prise de décision et probabilités. À Saint-Pétersbourg, un casino nous propose un jeu dans lequel on peut gagner une certaine somme d’argent. Notre tâche est de déterminer quelle serait la mise équitable pour ce jeu.

Règles du jeu

Si nous entrons dans le jeu, le croupier commence à lancer une pièce. Si la pièce tombe sur pile au premier lancer, le jeu s’arrête et nous avons gagné un euro. Si c’est face, le jeu continue. Au deuxième lancer, on relance la pièce. Si c’est pile, le jeu s’arrête et nous avons gagné le double du gain précédent, soit deux euros. Si c’est face, le jeu continue. Si pile tombe au troisième lancer, nous gagnons quatre euros. Si pile tombe au quatrième lancer, nous gagnons huit euros.

En généralisant : si pile tombe au k-ième lancer, nous avons gagné 2^{k − 1} euros. La question est maintenant de savoir quelle serait la mise équitable pour entrer dans ce jeu.

Espérance

Le prix équitable devrait être fondé sur l’espérance (la valeur moyenne). Si par exemple nous pouvons gagner en moyenne cent euros, la mise devrait être de cent euros, ou un peu plus, pour que le casino gagne de l’argent. Quelle est donc l’espérance dans notre jeu ? Écrivons les probabilités d’obtenir chacun des gains. Dans la première colonne figurent les gains, dans la seconde notre chance de les obtenir. Par exemple, la chance que pile tombe au premier lancer est $\frac{1}{2}$. La chance que face tombe d’abord, puis pile, est $\frac{1}{4}$. Et ainsi de suite.

$$\begin{array}{cc}1& 1/2\\ 2& 1/4\\ 4& 1/8\\ 8& 1/16\\ 16& 1/32\\ \dots & \dots \end{array}$$

Comment calcule-t-on l’espérance ? On multiplie chaque gain par la probabilité de l’obtenir, puis on additionne le tout. On obtient :

$$\begin{array}{rcl}E& =& \frac{1}{2}\cdot 1+\frac{1}{4}\cdot 2+\frac{1}{8}\cdot 4+\frac{1}{16}\cdot 8+\dots \\ & =& \frac{1}{2}+\frac{1}{2}+\frac{1}{2}+\frac{1}{2}+\dots \\ & =& \sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{2}=\mathrm{\infty }\end{array}$$

L’espérance est infinie. Dans ce cas idéalisé, le gain espéré vaut donc une infinité d’euros. Voilà qui semble alléchant. Le problème, c’est que la mise devrait alors, elle aussi, être infinie. C’est bien sûr absurde.

Les critiques de ce paradoxe objectent bien sûr qu’on ne peut pas jouer un temps infini ni gagner une somme infinie. Et même si l’on « réduit » le nombre maximal de lancers, de l’infini à un nombre fini n, on atteint assez vite des sommes que personne au monde ne possède. Par exemple, après 41 lancers, tu aurais gagné 2⁴⁰ euros, soit environ mille milliards d’euros. Dix lancers de plus, et tu aurais gagné mille fois plus.

Mise finie

Bien sûr, personne ne paiera une mise d’une infinité d’euros. Cependant, le paradoxe peut aussi être illustré avec une somme finie d’argent. En effet, pour chaque somme entière en euros, il existe un nombre maximal de lancers pour lequel l’espérance est justement celle dont nous avons besoin. Si par exemple nous voulons une mise de mille euros, disons que le nombre maximal de lancers est 2000. On calcule alors la somme suivante :

$$\sum _{k=1}^{2000}\frac{1}{2}=2000\cdot \frac{1}{2}=1000$$

L’espérance vaut alors 1000 euros. Si nous voulons une mise de D euros, nous dirons que le nombre maximal de lancers est 2D.

Bien sûr, aucune personne raisonnable ne paierait une mise de mille euros si elle n’avait qu’une chance infime de gagner plus de mille euros.