Pietarin paradoksi

Pietarin paradoksi sekoittaa yhteen tilastotiedettä, päätöksentekoa ja todennäköisyyttä. Pietarissa on kasino, joka tarjoaa meille peliä, jossa voimme voittaa tietyn määrän rahaa. Tehtävämme on selvittää, mikä olisi reilu osallistumismaksu tähän peliin.

Pelin säännöt

Jos osallistumme peliin, pelinpitäjä alkaa heittää kolikkoa. Jos ensimmäisessä heitossa tulee kruunu, peli päättyy ja olemme voittaneet yhden euron. Jos tulee klaava, peli jatkuu. Toisella kierroksella heitetään taas kolikkoa. Jos tulee kruunu, peli päättyy ja olemme voittaneet kaksinkertaisen määrän edelliseen mahdolliseen voittoon nähden eli kaksi euroa. Jos tulee klaava, jatkamme. Jos kolmannella kierroksella tulee kruunu, voitamme neljä euroa. Jos neljännellä kierroksella, voitamme kahdeksan euroa.

Kun tämän yleistämme – jos kruunu tuli k:nnella kierroksella, olemme voittaneet 2^{k − 1} euroa. Kysymys kuuluu nyt, mikä olisi reilu osallistumismaksu tähän peliin?

Odotusarvo

Reilun hinnan pitäisi perustua odotusarvoon. Jos esimerkiksi voimme voittaa keskimäärin sata euroa, osallistumismaksun pitäisi olla sata euroa tai hieman enemmän, jotta kasino ansaitsee. Mutta mikä on odotusarvo meidän pelissämme? Kirjoitamme auki todennäköisyydet, joilla voimme saada eri voitot. Ensimmäisessä sarakkeessa ovat voitot, toisessa mahdollisuutemme saavuttaa kyseinen voitto. Esimerkiksi mahdollisuus, että ensimmäisessä heitossa tulee kruunu, on $\frac{1}{2}$. Mahdollisuus, että tulee ensin klaava ja sitten kruunu, on $\frac{1}{4}$. Jne.

$$\begin{array}{cc}1& 1/2\\ 2& 1/4\\ 4& 1/8\\ 8& 1/16\\ 16& 1/32\\ \dots & \dots \end{array}$$

Miten laskemme nyt odotusarvon? Kerromme summan, jonka voimme saada, todennäköisyydellä, jolla kyseisen summan voimme saavuttaa, ja laskemme kaiken yhteen. Saamme:

$$\begin{array}{rcl}E& =& \frac{1}{2}\cdot 1+\frac{1}{4}\cdot 2+\frac{1}{8}\cdot 4+\frac{1}{16}\cdot 8+\dots \\ & =& \frac{1}{2}+\frac{1}{2}+\frac{1}{2}+\frac{1}{2}+\dots \\ & =& \sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{2}=\mathrm{\infty }\end{array}$$

Odotusarvo on ääretön. Voiton odotusarvo on siis idealisoidussa tapauksessa äärettömän monta euroa. Se ei kuulosta pahalta. Ongelma on, että samalla myös osallistumismaksun pitäisi olla ääretön. Se on tietysti mahdotonta.

Tämän paradoksin kriitikot väittävät tietysti, ettei voi pelata äärettömän pitkään, ei voi voittaa äärettömän paljon rahaa ja vaikka ”alentaisit” kolikonheittojen enimmäismäärän äärettömästä johonkin äärelliseen lukuun n, päätyisit silti melko pian summiin, joita kenelläkään maailmassa ei ole. Esimerkiksi 41 heiton jälkeen voittaisit jo 2⁴⁰ euroa, mikä on noin biljoona euroa (tuhat miljardia euroa). Vielä kymmenen heiton jälkeen voittaisit tuhat kertaa enemmän rahaa.

Äärellinen osallistumismaksu

Äärettömän monta euroa ei tietenkään kukaan sinulle osallistumismaksuna anna. Paradoksin voi kuitenkin osittain havainnollistaa myös äärellisellä rahamäärällä. Jokaiselle täyden euron summalle on nimittäin olemassa kolikonheittojen enimmäismäärä, jolla odotusarvoksi tulee juuri se, jonka tarvitsemme. Jos esimerkiksi haluamme osallistumismaksuksi tuhat euroa, sanomme, että kolikonheittojen enimmäismäärä on 2000. Silloin laskemme tällaisen summan:

$$\sum _{k=1}^{2000}\frac{1}{2}=2000\cdot \frac{1}{2}=1000$$

Odotusarvo on silloin 1000 euroa. Jos haluamme osallistumismaksuksi D euroa, sanomme, että kolikonheittojen enimmäismäärä on 2D.

Tietenkään mikään järkevä ihminen ei kuitenkaan maksa esimerkiksi tuhannen euron osallistumismaksua, jos hänellä on aivan mitätön mahdollisuus voittaa yli tuhat euroa.

Lisälähteitä

• Wikipedia