A szentpétervári paradoxon

A szentpétervári paradoxon a statisztikát, a döntéshozatalt és a valószínűséget keveri össze. Szentpéterváron van egy kaszinó, amely olyan játékot kínál nekünk, amelyben bizonyos összeget nyerhetünk. A feladatunk kideríteni, mekkora lenne a tisztességes belépődíj erre a játékra.

A játék szabályai

Ha belépünk a játékba, a krupié elkezd pénzérmét feldobni. Ha az első dobásnál fej esik, a játék véget ér, és egy eurót nyertünk. Ha írás esik, a játék folytatódik. A második körben ismét feldobják az érmét. Ha fej esik, a játék véget ér, és az előző lehetséges nyeremény kétszeresét nyertük, vagyis két eurót. Ha írás esik, folytatjuk. Ha a harmadik körben esik fej, négy eurót nyerünk. Ha a negyedik körben, nyolc eurót nyerünk.

Általánosítva – ha a k-adik körben esett fej, akkor 2^{k − 1} eurót nyertünk. A kérdés most az, mekkora lenne a tisztességes belépődíj erre a játékra?

Várható érték

A tisztességes árnak a várható (átlagos) értékből kell kiindulnia. Ha például átlagosan száz eurót nyerhetünk, akkor a belépődíjnak száz eurónak kellene lennie, illetve egy kicsit több, hogy a kaszinó keressen. De mekkora a várható érték a mi játékunkban? Felírjuk, milyen valószínűséggel nyerhetjük az egyes nyereményeket. Az első oszlopban a nyeremények vannak, a másodikban az esélyünk, hogy az adott nyereményt elérjük. Például annak az esélye, hogy az első dobásnál fej esik, $\frac{1}{2}$. Annak az esélye, hogy először írás, majd fej esik, $\frac{1}{4}$. Stb.

$$\begin{array}{cc}1& 1/2\\ 2& 1/4\\ 4& 1/8\\ 8& 1/16\\ 16& 1/32\\ \dots & \dots \end{array}$$

Hogyan számoljuk most ki a várható értéket? Megszorozzuk az összeget, amelyet nyerhetünk, azzal a valószínűséggel, amellyel ezt az összeget elérhetjük, és mindent összeadunk. Ezt kapjuk:

$$\begin{array}{rcl}E& =& \frac{1}{2}\cdot 1+\frac{1}{4}\cdot 2+\frac{1}{8}\cdot 4+\frac{1}{16}\cdot 8+\dots \\ & =& \frac{1}{2}+\frac{1}{2}+\frac{1}{2}+\frac{1}{2}+\dots \\ & =& \sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{2}=\mathrm{\infty }\end{array}$$

A várható érték végtelen. A nyeremény várható értéke tehát, idealizált esetben, végtelen sok euró. Ez nem hangzik rosszul. A probléma az, hogy ezzel együtt a belépődíjnak is végtelennek kellene lennie. Ez természetesen értelmetlen.

A paradoxon kritikusai természetesen azt vetik ellene, hogy nem játszhatsz végtelen hosszú ideig, nem nyerhetünk végtelen sok pénzt, és még ha az érmefeldobások maximális számát a végtelenről valamilyen véges n számra „csökkented”, akkor is viszonylag hamar olyan összegekhez jutsz, amennyi pénze senkinek sincs a világon. Például 41 dobás után már 2⁴⁰ eurót nyernél, ami körülbelül egybillió euró (ezer milliárd euró). További tíz dobás után ezerszer annyi pénzt nyernél.

Véges belépődíj

Végtelen sok eurót természetesen senki nem ad belépődíjként. A paradoxon azonban részben véges pénzösszeggel is bemutatható. Minden egész euróösszeghez ugyanis létezik az érmefeldobások olyan maximális száma, amelyre a várható érték éppen akkora, amekkorára szükségünk van. Ha például ezer eurós belépődíjat szeretnénk, azt mondjuk, hogy a feldobások maximális száma 2000. Ekkor ezt az összeget számoljuk:

$$\sum _{k=1}^{2000}\frac{1}{2}=2000\cdot \frac{1}{2}=1000$$

A várható érték ekkor 1000 euró. Ha D euró belépődíjat szeretnénk, akkor azt mondjuk, hogy a feldobások maximális száma 2D.

Természetesen azonban egyetlen értelmes ember sem fizet például ezer eurós belépődíjat, ha elenyésző az esélye, hogy ezer eurónál többet nyer.

További források

• Angol Wikipédia