Số chẵn hay số lẻ nhiều hơn?
Theo bạn, loại số nào nhiều hơn? Số chẵn hay số lẻ? Hay chúng nhiều bằng nhau? Làm sao để biết? Còn các loại số khác thì sao? Số chẵn nhiều hơn hay số nguyên dương nhiều hơn? Số nguyên dương nhiều hơn hay số hữu tỉ nhiều hơn? Câu hỏi không hề đơn giản, vì tất cả các loại số kể trên đều có vô số. Dù vậy, ta vẫn có thể so sánh và biết được loại số nào nhiều hơn, loại nào ít hơn.
Ta thử xét trước một tập hợp số nhỏ. Hãy tưởng tượng có hai tập hợp số: các số màu xanh dương và các số màu đỏ:
Có thể nói số nào nhiều hơn không? Số màu đỏ hay số màu xanh dương? Rõ ràng là… Sao cơ? Bạn bị mù màu nên không thấy rõ? Thôi được, từ giờ các số màu đỏ sẽ được vẽ thêm thành hình vuông:
Được rồi, bây giờ thì rõ ràng số màu xanh dương nhiều hơn số màu đỏ. Lần này dễ, vì ta đang làm việc với các tập hợp hữu hạn nên đếm được. Có 6 số màu xanh dương và chỉ 3 số màu đỏ. Với tập hợp vô hạn thì không đơn giản như vậy, vì ta không thể đếm hết. Vậy hãy trả lời câu hỏi ở tiêu đề: số chẵn hay số lẻ nhiều hơn? Cho đơn giản, ta chỉ xét các số dương. Hãy tưởng tượng một bao chứa tất cả các số lẻ và một bao chứa tất cả các số chẵn. Bao nào lớn hơn?
Hình dung vô số số đã không dễ, đếm chúng lại càng khó. Liệu có cách nào khác để so sánh kích thước của các tập hợp không?
So sánh hai tập hợp hữu hạn
Hãy tưởng tượng có một bao toàn chú rể và một bao toàn cô dâu. Nếu mỗi chú rể có đúng một cô dâu và mỗi cô dâu có đúng một chú rể thì có thể nói số chú rể bằng số cô dâu:
👰 👰 👰 👰 👰 👰
🤵 🤵 🤵 🤵 🤵 🤵
Thấy chưa? Mỗi cô dâu ở hàng thứ nhất có chồng riêng ở hàng thứ hai và ngược lại – mỗi người chồng có vợ riêng. Nhưng cũng có thể xảy ra trường hợp khác: mỗi cô dâu đều có chồng, nhưng không phải chú rể nào cũng có cô dâu:
👰 👰 👰 👰 👰 ❌
🤵 🤵 🤵 🤵 🤵 🤵
Mỗi người vợ đều có chồng, nhưng một chú rể đứng buồn thiu vì không có vợ. Khi thừa ra một chú rể như vậy, ta có thể nói số chú rể nhiều hơn số cô dâu. Tương tự, nếu thừa ra một cô dâu
👰 👰 👰 👰 👰 👰
🤵 🤵 🤵 🤵 🤵 ❌
thì ta có thể nói số cô dâu nhiều hơn số chú rể.
So sánh hai tập hợp vô hạn
Có thể dùng cách này để so sánh hai tập hợp vô hạn không? Có thể ghép mỗi số lẻ với một số chẵn và mỗi số chẵn với một số lẻ, sao cho không số nào được dùng quá một lần không? Có! Mỗi số lẻ n ta ghép với số chẵn n + 1. Chẳng hạn số 5 ghép với số 5 + 1, số 149 ghép với số 150, v.v. Hình động sau minh hoạ cách ghép cặp:
Với mỗi số lẻ màu đỏ có đúng một số chẵn màu xanh dương tương ứng, và với mỗi số chẵn màu xanh dương có đúng một số lẻ màu đỏ tương ứng. Ta đã ghép được tất cả các số lẻ với tất cả các số chẵn. Điều đó có nghĩa là số chẵn và số lẻ nhiều như nhau!
Thôi được, kết quả này cũng chẳng bất ngờ lắm, phải không? Hãy thử so sánh các tập hợp số khác: tất cả các số nguyên dương và các số chẵn. Lần này kết quả sẽ gây sốc hơn.
Số nguyên dương hay số chẵn nhiều hơn?
Loại số nào nhiều hơn? Số nguyên dương hay số chẵn?
Rõ ràng các số nguyên dương chứa tất cả các số chẵn. Ngoài ra, các số nguyên dương còn có thêm một số số nữa – các số lẻ. Vậy hẳn là số nguyên dương phải nhiều hơn – chúng chứa số lượng số gấp đôi cơ mà!
Giá mà cuộc đời đơn giản như vậy!
Điều ta quan tâm không phải là một tập hợp có chứa thêm số nào hay không. Điều ta quan tâm là có ghép cặp được các số của hai tập hợp với nhau hay không. Có thể ghép mỗi số chẵn với một số nguyên dương không? Dù số nguyên dương nhiều hơn? Có, ta làm được.
Mỗi số nguyên dương p ta ghép với số chẵn 2 · p, và ngược lại – mỗi số chẵn n ta ghép với số nguyên dương n / 2. Như vậy số nguyên dương 5 được ghép với số chẵn 10, số chẵn 14 được ghép với số nguyên dương 7, v.v. Hình động sau minh hoạ cách ghép cặp cho vài số đầu tiên:
Bỗng nhiên, với mỗi số nguyên dương có đúng một số chẵn tương ứng, và với mỗi số chẵn có đúng một số nguyên dương tương ứng! Số nguyên dương nhiều hơn thì đã sao? Cả hai loại số đều có vô số và không bao giờ hết. Theo cách nhìn này, tập hợp các số chẵn lớn đúng bằng tập hợp các số nguyên dương! 😱
Điều này hơi trái với trực giác, nhưng sự thật là vậy.
Số nguyên dương hay số hữu tỉ nhiều hơn?
Số hữu tỉ là các phân số. Mọi số viết được dưới dạng p/q, trong đó p và q là số nguyên và q ≠ 0, đều là số hữu tỉ. Chẳng hạn ½, ¾ hay 8 là số hữu tỉ, nhưng π thì không. Số hữu tỉ nhiều hơn số nguyên dương rất nhiều. Chẳng hạn, giữa hai số 2 và 4 chỉ có đúng một số nguyên là số 3, nhưng có vô số số hữu tỉ. Thậm chí giữa hai số 0,001 và 0,002 cũng có vô số số hữu tỉ. Số hữu tỉ nhiều đến thế đấy!
Vì vậy ta sẽ nghĩ rằng tập hợp các số hữu tỉ phải lớn hơn tập hợp các số nguyên dương. Nhưng hẳn ai cũng đoán là ở đây có điều gì đó ẩn giấu. Được rồi, hãy thử ghép cặp các số hữu tỉ với các số nguyên dương. Trước hết, ta viết các số hữu tỉ vào một bảng như sau:
Quy luật hẳn đã rõ: mọi phân số ở dòng thứ nhất có tử số (ở trên gạch ngang phân số) bằng 1, còn mẫu số lần lượt tăng dần 1, 2, 3, v.v. Theo cột thì ngược lại. Nếu tiếp tục mãi, bảng này sẽ chứa mọi phân số. Chẳng hạn, phân số 1478/517 nằm ở dòng 1478, cột 517. Bây giờ ta thử lập hàm ghép cặp. Có thể làm như sau:
- Số nguyên dương 1 ghép với phân số thứ nhất ở dòng thứ nhất, tức là 1/1
- Số nguyên dương 2 ghép với phân số thứ hai ở dòng thứ nhất, tức là 1/2
- Số nguyên dương 3 ghép với phân số thứ ba ở dòng thứ nhất, tức là 1/3
- Số nguyên dương 4 ghép với phân số thứ tư ở dòng thứ nhất, tức là 1/4
- …
Theo cách này, ta có ghép được hết các số nguyên dương không? Có. Mỗi số nguyên dương đều có số tương ứng. Số nguyên dương 174 tương ứng với phân số 1/174. Nhưng điều ngược lại có đúng không? Mỗi phân số có số nguyên dương tương ứng không? Phân số 2/3 tương ứng với số nào? Không số nào cả, vì với hàm ghép cặp này ta không bao giờ xuống tới dòng thứ hai. Ta chỉ ghép được dòng phân số thứ nhất.
Vậy có phải số hữu tỉ nhiều hơn số nguyên dương? Đáng tiếc là không – một cách ghép cặp không dùng được không có nghĩa là cách khác cũng không dùng được. Lần này ta thử đi theo các đường chéo:
- Số nguyên dương 1 ghép với phân số 1/1 (đường chéo thứ nhất),
- số nguyên dương 2 ghép với phân số 1/2 (đường chéo thứ hai),
- số nguyên dương 3 ghép với phân số 2/1 (đường chéo thứ hai),
- số nguyên dương 4 ghép với phân số 1/3 (đường chéo thứ ba),
- số nguyên dương 5 ghép với phân số 2/2 (đường chéo thứ ba),
- số nguyên dương 6 ghép với phân số 3/1 (đường chéo thứ ba),
- v.v.
Cách ghép cặp này được minh hoạ trong hình động:
Bằng cách này ta đi hết được mọi phân số. Không đường chéo nào dài vô hạn, nên ta không bị kẹt “mãi mãi” trong một đường chéo nào. Cuối cùng, mỗi phân số sẽ được gán một số nguyên dương, và tất nhiên mỗi số nguyên dương sẽ được gán một phân số riêng.
Ừm… Thật ra thì chưa hẳn. Nhìn lại bảng phân số, ta thấy có nhiều số lặp lại. Chẳng hạn các phân số 1/1, 2/2, 3/3, v.v. đều biểu diễn cùng một số – số 1. Tương tự, các phân số 1/2, 2/4 và 3/6 đều biểu diễn một nửa. Như vậy thực ra ta đang gán các số nguyên dương 1, 5, 13, v.v. cho cùng một số hữu tỉ 1! Nhiều chú rể cùng cưới một cô dâu. Thế thì không được!
May mà sửa lại rất dễ. Ta chỉ cần gạch khỏi bảng mọi phân số không tối giản, tức là gạch mọi phân số còn rút gọn được. Sau đó trong bảng chỉ còn các số hữu tỉ khác nhau, và mẹo đường chéo của ta sẽ dùng được. Mỗi số nguyên dương sẽ được ghép với đúng một số hữu tỉ và ngược lại.
Điều đó có nghĩa là tập hợp các số nguyên dương lớn đúng bằng tập hợp các số hữu tỉ!
Đến đây có vẻ như mọi tập hợp vô hạn đều lớn như nhau. Có tập hợp vô hạn nào lớn hơn tập hợp các số nguyên dương không?
Số nguyên dương hay số thực nhiều hơn?
Đến lượt niềm hi vọng cuối cùng: số thực. Trên trục số không còn loại số nào khác nữa. Số thực trông như thế nào? Tập hợp số thực chứa mọi số hữu tỉ và thêm mọi số vô tỉ. Khi viết một số dưới dạng số thập phân, số hữu tỉ:
- hoặc là số thập phân hữu hạn, chẳng hạn 0,4841554,
- hoặc là số thập phân vô hạn tuần hoàn: 0,1313131313…
Ngược lại, số vô tỉ luôn là số thập phân vô hạn và không tuần hoàn. Chẳng hạn, số vô tỉ π bằng 3,141592653… (không có chu kì). Ta nói trước luôn: số thực nhiều hơn số hữu tỉ rất nhiều, do đó cũng nhiều hơn số nguyên dương. Tập hợp các số thực lớn hơn tập hợp các số nguyên dương. Vậy chứng minh điều này thế nào?
Giả sử ta đã tìm được một cách ghép cặp tất cả các số nguyên dương với tất cả các số thực. Chẳng hạn cách sau:
1 → 0,3452807674449021… 2 → 0,8978319745321683… 3 → 0,8972169570849831… 4 → 0,0635759905832629… 5 → 0,0081863365749335… 6 → 0,4000559394278442… 7 → 0,8637537627594889… …
Giả sử bên trái là tất cả các số nguyên dương, còn bên phải là tất cả các số thực. Nếu đúng như vậy thì ta không thể tìm được số thực nào vắng mặt ở bên phải. Vì ta đã “tiết lộ trước” rằng tập hợp số thực lớn hơn, nên bên phải phải thiếu một số nào đó. Được rồi, nhưng là số nào? Chẳng hạn ta thấy ở đó không có số 0,4818063607183678. Nhưng biết đâu nó lại nấp ở số 8?
1 → 0,3452807674449021… 2 → 0,8978319745321683… 3 → 0,8972169570849831… 4 → 0,0635759905832629… 5 → 0,0081863365749335… 6 → 0,4000559394278442… 7 → 0,8637537627594889… 8 → 0,4818063607183678 …
Còn số 0,4208424736008147 thì sao? Ta cũng không thấy nó. Nhưng biết đâu nó lại nấp ở số 9?
1 → 0,3452807674449021… 2 → 0,8978319745321683… 3 → 0,8972169570849831… 4 → 0,0635759905832629… 5 → 0,0081863365749335… 6 → 0,4000559394278442… 7 → 0,8637537627594889… 8 → 0,4818063607183678 9 → 0,4208424736008147 …
Làm thế này thì không được. Vì tất nhiên ta không thể viết ra hết các cặp – có vô số cặp – nên ta không thể cứ đoán xem một số nào đó có tình cờ nằm trong danh sách hay không. Ta cần tìm một số khác với mọi số ở cột bên phải, dù ta không biết hết các số đó là gì. Làm sao làm được?
Để hai số khác nhau, chỉ cần chúng khác nhau ở một chữ số. Chẳng hạn, hai số 0,123456 và 0,123457 không bằng nhau – chúng chỉ khác nhau ở một chữ số. Như thế là đủ. Vì vậy, trong bảng, với số thực thứ n ta tô đậm chữ số thứ n sau dấu phẩy:
1 → 0,3452807674449021… 2 → 0,8978319745321683… 3 → 0,8972169570849831… 4 → 0,0635759905832629… 5 → 0,0081863365749335… 6 → 0,4000559394278442… 7 → 0,8637537627594889… 8 → 0,4818063607183678 9 → 0,4208424736008147 …
rồi ghép một số mới sao cho chữ số thứ n sau dấu phẩy của nó khác chữ số thứ n của số thực thứ n. Ta bắt đầu số mới bằng 0: 0,??? và chọn chữ số thứ nhất sau dấu phẩy khác chữ số thứ nhất của số thực thứ nhất, tức là khác 3. Chẳng hạn ta viết 0,1???. Chữ số thứ hai phải khác chữ số thứ hai của số thực thứ hai, tức là khác 9. Chẳng hạn ta viết chữ số 2: 0,12???. Cứ thế tiếp tục. 9 chữ số đầu tiên có thể là 0,123123127 (xem dòng cuối của bảng):
1 → 0,3452807674449021… 2 → 0,8978319745321683… 3 → 0,8972169570849831… 4 → 0,0635759905832629… 5 → 0,0081863365749335… 6 → 0,4000559394278442… 7 → 0,8637537627594889… 8 → 0,4818063607183678 9 → 0,4208424736008147 ? → 0,123123127
Ta thấy số này khác mọi số trong bảng, vì nó luôn khác mỗi số ít nhất ở một chữ số. Dù bảng có vô số số, số mới của ta gồm vô số chữ số được chọn sao cho nó khác mọi số trong bảng ít nhất ở một chữ số. Hơn nữa, hãy để ý rằng ta có thể tạo ra vô số số không có trong bảng! Từ đó suy ra điều gì? Ta không thể ghép cặp các số nguyên dương với các số thực. Luôn còn lại vô số số thực không được ghép với số nguyên dương nào. Số thực nhiều hơn số nguyên dương rất nhiều.
Ghi chú cuối bài
- Trong cả bài, cho đơn giản, ta đã bỏ qua các số âm. Tất nhiên chúng không làm thay đổi kết luận, và bạn có thể tự sửa các cách ghép cặp ở trên sao cho chúng dùng được cả với số âm.
- Kích thước của tập hợp các số nguyên dương thậm chí có tên riêng: aleph-không (ℵ₀).
- Trong toán học, thay cho “kích thước của tập hợp” ta thường dùng khái niệm lực lượng của tập hợp.