Hàm số bậc hai

Hàm số bậc hai là hàm số có thể cho bởi công thức f(x) = ax² + bx + c, trong đó a, b, c là các số thực và a ≠ 0. Giống như đồ thị hàm số bậc nhất luôn là một đường thẳng, đồ thị hàm số bậc hai luôn là một parabol.

Ví dụ về hàm số bậc hai

Một ví dụ về hàm số bậc hai đơn giản là f(x) = x² + 3x − 7. Đồ thị của hàm số này như sau:

Có thể viết hàm số bậc hai dưới dạng tổng quát ax² + bx + c. Hạng tử ax² gọi là hạng tử bậc hai, và mọi hàm số bậc hai đều phải có hạng tử này. Hạng tử tiếp theo bx gọi là hạng tử bậc nhất; nó không nhất thiết có mặt trong hàm số bậc hai, tức có thể bằng 0. Chẳng hạn, hàm số f(x) = 5x² + 7 vẫn là hàm số bậc hai. Hạng tử cuối cùng c gọi là hệ số tự do và cũng không bắt buộc. Với hàm số f(x) = x² + 3x − 7 ta có

$$a=1,b=3,c=-7$$

Vì sao a bằng 1? Vì cách viết x² thực chất nghĩa là 1 · x², nên a = 1.

Tính chất của hàm số bậc hai

Bắt đầu với tập xác định: tập xác định của hàm số bậc hai là ℝ, tập các số thực; tập giá trị phụ thuộc vào từng hàm số cụ thể, nhưng luôn kéo dài tới (dương hoặc âm) vô cực. Ngoài ra, hàm số bậc hai luôn đồng biến ở một phía của đỉnh và nghịch biến ở phía kia. Nếu hạng tử bậc nhất bằng 0 (b = 0) thì hàm số bậc hai là hàm số chẵn. Hàm số bậc hai không bao giờ là đơn ánh.

Bị chặn trên hoặc bị chặn dưới

Hàm số bậc hai luôn hoặc bị chặn trên, hoặc bị chặn dưới. Điều này chỉ phụ thuộc vào tham số a. Nếu tham số a dương thì đồ thị “đi lên”, trông giống chữ “U”, nên đồ thị bị chặn dưới. Ví dụ là hàm số f(x) = 2x² có đồ thị:

Ta thấy mọi giá trị của hàm số (mọi điểm màu đỏ) đều nằm trên số −1, nên hàm số bị chặn dưới. Nếu có hàm số f(x) = −2x²:

thì ngược lại, mọi giá trị của hàm số đều nằm dưới số 1, nên hàm số bị chặn trên.

Bề lõm của đồ thị

Bề lõm cũng phụ thuộc vào tham số a. Hàm số bậc hai là hàm số lồi (đồ thị có bề lõm hướng lên trên) nếu đồ thị có dạng chữ “U”, và là hàm số lõm (đồ thị có bề lõm hướng xuống dưới) nếu đồ thị có dạng chữ “U” lộn ngược. Như vậy nếu a > 0 thì parabol có bề lõm quay lên trên, còn nếu a < 0 thì parabol có bề lõm quay xuống dưới.

Tham số a còn quyết định đồ thị hẹp hay rộng. Giá trị của a càng gần 0 thì đồ thị càng rộng, và ngược lại.

Giao điểm với các trục toạ độ

Muốn tìm giao điểm của đồ thị hàm số với trục hoành hay trục tung, ta chỉ cần lập một phương trình đơn giản rồi giải nó. Chỉ cần nhớ rằng hàm số có thể viết dưới dạng y = ax² + bx + c, nghĩa là tung độ tại điểm x = 2 nhận được bằng cách thay mọi x bằng 2.

Chẳng hạn, với hàm số y = x² − 4x + 3, tại điểm x = 2 ta được tung độ 2² − 4 · 2 + 3 = −1. Vậy đồ thị hàm số chắc chắn đi qua điểm (2; −1). Muốn tìm giao điểm với trục hoành, thực chất ta cần hoành độ tại những chỗ có y = 0. Giao điểm với trục hoành luôn có tung độ bằng 0; nhìn đồ thị sau sẽ thấy rõ điều đó.

Vì vậy trong y = x² − 4x + 3 ta chỉ cần thay y bằng 0 và giải phương trình. Các nghiệm tìm được là hoành độ của các giao điểm.

$$x^2-4x+3=0$$

Đây là một phương trình bậc hai, có thể giải theo các cách thông thường. Chẳng hạn, có thể phân tích thành dạng tích (x − 1) · (x − 3), từ đó suy ra các nghiệm là x₁ = 1 và x₂ = 3.

Muốn tìm giao điểm với trục tung, ta làm tương tự. Lấy y = x² − 4x + 3 và lần này thay x bằng 0. Thực chất ta hỏi giá trị của hàm số tại điểm x = 0 bằng bao nhiêu:

$$0^2-4\cdot 0+3=3$$

Vậy giao điểm với trục hoành là (1; 0) và (3; 0), còn giao điểm với trục tung là (0; 3).

Cách tìm toạ độ đỉnh

Với hàm số bậc hai, việc xác định đỉnh cũng rất quan trọng. Để khỏi phải nhớ một công thức khá phức tạp, ta xem một cách khác, dùng phương pháp biến đổi về bình phương đầy đủ. Đỉnh của parabol là điểm mà tại đó hàm số đạt giá trị nhỏ nhất hoặc lớn nhất. Hàm số f(x) = x² − 4x + 3 có đồ thị như sau:

và có đỉnh tại điểm (2; −1).

Dạng tổng quát của hàm số bậc hai là f(x) = ax² + bx + c. Với a = 1, ta đưa hàm số này về dạng g(x) = (x + m)² + n, trong đó (−m; n) là đỉnh của parabol. Với hàm số đang xét, ta muốn được dạng (x − 2)² − 1. Làm thế nào để có dạng này?

Trước hết chỉ viết dấu ngoặc (x + m) và thay m bằng một nửa giá trị của tham số b trong hàm số bậc hai. Tham số b bằng −4, một nửa của nó là −2, nên ta được: (x − 2)².

Bước thứ hai là trừ đi phần thừa. Nếu khai triển dấu ngoặc này, ta sẽ không được kết quả đúng, tức không được hàm số ban đầu. Từ dấu ngoặc còn phải trừ đi bình phương của m và cộng thêm tham số c của hàm số ban đầu.

Cụ thể, từ dấu ngoặc ta trừ đi (−2)² và cộng thêm 3 (tham số c):

$$(x-2{)}^2-4+3$$

Rút gọn, ta được

$$(x-2{)}^2-1,$$

đó là kết quả cuối cùng. Vì hàm số có dạng (x + m)² + n với m = −2, n = −1, nên đỉnh có toạ độ (−m; n), tức (2; −1).

Ta nên kiểm tra lại xem đã tính đúng chưa. Ta chỉ mới đưa hàm số bậc hai x² − 4x + 3 về dạng (x − 2)² − 1. Dạng mới này phải mô tả cùng một hàm số, nên nếu khai triển dấu ngoặc, ta phải được dạng ban đầu của hàm số. Thử khai triển (x − 2)² − 1.

$$\begin{array}{rcl}(x-2{)}^2-1& =& (x-2)\cdot (x-2)-1\\ & =& x^2-4x+4-1\\ & =& x^2-4x+3\end{array}$$

Ta được đúng hàm số ban đầu, vậy các phép biến đổi là đúng.