Phương sai

Phương sai cho biết các giá trị trong mẫu số liệu phân tán nhiều hay ít.

Phương sai là gì

Hãy xem bảng sau, ghi điểm tổng kết của 10 học sinh lớp 8B. Ta quan tâm đến hai môn: Toán và Lịch sử.

Ta thấy phần lớn học sinh được điểm 8 môn Toán, thỉnh thoảng có bạn được 10 hoặc 6. Còn ở cột Lịch sử thì khá lộn xộn: điểm trải từ 2 đến 10 và không có mức điểm nào chiếm ưu thế rõ rệt. Vì vậy điểm Lịch sử phân tán nhiều hơn điểm Toán.

Tính điểm trung bình môn Toán, ta được 8,2. Ta thấy phần lớn các giá trị nằm khá gần giá trị này. Ngược lại, điểm trung bình môn Lịch sử là 6,8 và phần lớn các điểm không nằm gần giá trị này.

Làm thế nào để biểu thị mức độ phân tán này bằng một con số?

Cách tính phương sai

Ta biểu diễn dữ liệu của bảng trên đồ thị, chỉ vẽ điểm môn Lịch sử.

Trục hoành lại biểu diễn học sinh (lần này không ghi tên, nên ta quy ước 1 = Tuấn, 2 = Minh, v.v.). Trục tung biểu diễn điểm tổng kết. Đường thẳng y = 6,8 biểu diễn số trung bình.

Phương sai là trung bình cộng của bình phương khoảng cách từ các giá trị đến số trung bình. Nghe thì bí ẩn, nhưng thực ra đơn giản. Bình phương của x có thể hình dung là diện tích hình vuông có cạnh bằng x. Vậy trên đồ thị, ta vẽ các hình vuông có cạnh bằng khoảng cách từ giá trị đến số trung bình:

Trên đồ thị có 4 hình vuông như vậy, vẽ hết thì không đủ chỗ. Ta thấy Lan khá gần số trung bình, nên hình vuông của Lan nhỏ. Còn Bình ở xa số trung bình, nên hình vuông lớn. Nếu vẽ hết các hình vuông và tính trung bình cộng diện tích của chúng, ta được phương sai.

Cho mẫu số liệu X = [x₁, …, x_N] có số trung bình $\bar{x}$. Khi đó phương sai, kí hiệu là V, tính như sau:

$$V(X)=\frac{1}{N}((x_1-\bar{x}{)}^2+(x_2-\bar{x}{)}^2+\dots +(x_N-\bar{x}{)}^2)$$

Hoặc viết bằng kí hiệu tổng:

$$V(X)=\frac{1}{N}\sum _{i=1}^N(x_i-\bar{x}{)}^2$$

Vì sao lại là $(x_1-\bar{x}{)}^2$? Bản thân biểu thức $x_1-\bar{x}$ cho ta khoảng cách từ điểm x₁ đến số trung bình. Nói chính xác hơn, phải viết $|x_1-\bar{x}|$ (giá trị tuyệt đối), phòng khi giá trị x₁ nhỏ hơn số trung bình. Vì ta muốn tính diện tích hình vuông nên ta bình phương giá trị này.

Vậy phương sai của mẫu số liệu là:

$$\begin{array}{r}V(\text{Lịch sử})=\frac{1}{10}((4-6,8{)}^2+(10-6,8{)}^2+(10-6,8{)}^2+\\ (10-6,8{)}^2+(6-6,8{)}^2+(4-6,8{)}^2+\\ (2-6,8{)}^2+(10-6,8{)}^2+(8-6,8{)}^2+\\ (4-6,8{)}^2)=\frac{1}{10}\cdot 89,6=8,96\end{array}$$

Phương sai bằng 8,96. Phương sai của điểm môn Toán như sau:

$$\begin{array}{r}V(\text{Toán})=\frac{1}{10}((8-8,2{)}^2+(10-8,2{)}^2+(8-8,2{)}^2+\\ (8-8,2{)}^2+(8-8,2{)}^2+(10-8,2{)}^2+\\ (8-8,2{)}^2+(8-8,2{)}^2+(8-8,2{)}^2+\\ (6-8,2{)}^2)=\frac{1}{10}\cdot 11,6=1,16\end{array}$$

Phương sai bằng 1,16. Ta thấy phương sai của mẫu số liệu này, đúng như dự đoán, nhỏ hơn nhiều.

Cách tính phương sai trong Excel

Trong Excel dùng hàm VAR hoặc một biến thể của hàm này. Chẳng hạn với hàm VAR.P, ta nhập vùng ô đã chọn làm đối số.