Phân phối đều và phân phối chuẩn

Có hai dạng phân phối tần số điển hình mà ta thường gặp cả trong thực tế. Đó là phân phối đều và phân phối chuẩn.

Phân phối đều

Phân phối đều nghĩa là trong mẫu số liệu, mọi giá trị đều xuất hiện với tần số như nhau. Chẳng hạn ta có thể đếm xem mỗi năm 2000, 2001, …, 2009 có bao nhiêu tháng:

Khi gieo một con xúc xắc lí tưởng thông thường, xác suất ra mặt 1 chấm là $\frac{1}{6}$, xác suất ra mặt 2 chấm là $\frac{1}{6}$, v.v. Khi đó ta nói đây là phân phối xác suất đều, vì mọi kết quả đều có cùng xác suất.

Phân phối sẽ không đều nếu ta có một con xúc xắc gian lận, luôn ra mặt 6 chấm với xác suất $\frac{1}{3}$. Các mặt còn lại không thể cũng có xác suất $\frac{1}{3}$. Tương tự, ta có thể đếm số ngày của từng tháng: không phải tháng nào cũng có cùng số ngày, nên đó không phải phân phối tần số đều.

Phân phối chuẩn

Phân phối chuẩn đôi khi còn gọi là phân phối Gauss. Phân phối này chỉ dùng cho biến ngẫu nhiên liên tục. Phân phối chuẩn tắc có dạng như sau:

Đường cong này được mô tả bằng hàm Gauss, có dạng:

$$f(x)=\frac{1}{\sigma \sqrt{2\pi }}{\mathrm{e}}^{-\frac{{(x-\mu )}^2}{2{\sigma }^2}}$$

Hàm số này khá phức tạp, bạn không cần nhớ. Nhưng ta thấy hai tham số của phân phối chuẩn là số trung bình và độ lệch chuẩn/phương sai. Với các giá trị khác nhau của số trung bình và độ lệch chuẩn, ta được các đồ thị khác nhau:

Phân phối chuẩn quan trọng vì phân phối này mô phỏng khá sát nhiều phân phối gặp trong thực tế. Ta thấy đường cong luôn có đúng một điểm cao nhất, nằm đúng tại giá trị trung bình. Chẳng hạn đường cong màu đỏ đạt giá trị lớn nhất tại X = 0, nên giá trị trung bình của đại lượng này bằng 0. Đường cong đối xứng qua đường thẳng vuông góc với trục X và đi qua giá trị trung bình, tức là qua điểm X = 0. Nói cách khác, phần đường cong bên trái số 0 trông giống hệt phần bên phải. Đường cong màu xanh lá cũng có các tính chất đó, chỉ khác là trục đối xứng đi qua điểm X = −2 chứ không phải qua 0.

Phân phối chuẩn có thể mô tả khá sát sự phân bố trí thông minh hay chỉ số IQ trong dân số. Theo định nghĩa, IQ trung bình bằng 100. Số người có IQ trên 100 và dưới 100 xấp xỉ bằng nhau. Số người thông minh dưới trung bình một chút xấp xỉ bằng số người thông minh trên trung bình một chút, và số người kém thông minh hẳn cũng xấp xỉ bằng số thiên tài. Dù đôi khi có vẻ không phải vậy :-). Đồ thị biểu diễn gần đúng sự phân bố IQ:

Với phân phối chuẩn, độ lệch chuẩn đóng vai trò rất quan trọng. Nếu một phân phối là chuẩn và có độ lệch chuẩn σ thì khoảng 68% giá trị nằm trong đoạn [μ − σ; μ + σ]. Nghĩa là khoảng 68% giá trị khác số trung bình không quá một độ lệch chuẩn. Khoảng 95% giá trị nằm trong đoạn [μ − 2σ; μ + 2σ] và 99,7% giá trị nằm trong đoạn [μ − 3σ; μ + 3σ]. Hình sau minh hoạ điều này:

Tài liệu tham khảo

• Một số hình ảnh lấy từ Wikipedia, các bài Phân phối chuẩn và Intelligence.