Phân bố xác suất

Phân bố xác suất (còn gọi là phân phối xác suất) của một biến ngẫu nhiên cho biết xác suất để biến ngẫu nhiên nhận từng giá trị cụ thể.

Phân bố của biến rời rạc

Xét một biến ngẫu nhiên rời rạc, chẳng hạn ta theo dõi xem mỗi ngày anh Hùng, người nghiện nước ngọt có tiếng trong xóm, uống bao nhiêu lon nước ngọt. Sau khi theo dõi anh Hùng suốt một tháng, ta lập được bảng sau:

Ta thấy đầu tháng anh Hùng còn hơi kiềm chế, nhưng sau đó thì uống hết lon này đến lon khác. Tuần bắt đầu từ ngày 11 hẳn là một tuần “kinh khủng”. Kí hiệu biến ngẫu nhiên rời rạc này là X. Bây giờ ta quan tâm đến xác suất để vào một ngày nào đó trong tháng, anh Hùng uống đúng x lon nước ngọt.

Trước khi tính xác suất, ta vẽ một biểu đồ cột tần số thông thường. Ta đếm xem mỗi số lon xuất hiện bao nhiêu ngày và ghi lên biểu đồ. Chẳng hạn có tất cả 9 ngày anh Hùng uống 10 lon, nên ứng với giá trị 10 lon có một cột cao 9:

Đọc biểu đồ như sau: trong tháng có 3 ngày anh Hùng uống 6 lon.

Xác suất để anh Hùng uống 10 lon trong một ngày là bao nhiêu? Viết một cách hình thức: kí hiệu hàm xác suất là P, câu hỏi về 10 lon viết là P(X = 10). Như vậy ta hỏi: xác suất để biến ngẫu nhiên X nhận giá trị 10 là bao nhiêu?

Xác suất này bằng tần số tương đối của giá trị đó. Vì vậy ta vẽ thêm biểu đồ cột tần số tương đối:

Bây giờ có thể nói P(X = 10) bằng 0,3, tức là 30%.

Xác suất thực nghiệm và xác suất lí thuyết

Lấy ví dụ một con xúc xắc thông thường. Ta thử gieo con xúc xắc này 600 lần. Theo xác suất lí thuyết cổ điển, khả năng ra mặt 1 chấm, 2 chấm, …, 6 chấm là như nhau. Mỗi mặt của con xúc xắc có xác suất xuất hiện $\frac{1}{6}$. Vậy về lí thuyết, khi gieo xúc xắc 600 lần, mỗi mặt phải xuất hiện đúng 100 lần.

Tất nhiên điều đó gần như chắc chắn sẽ không xảy ra. Trong thí nghiệm, ta có thể nhận được kết quả như sau:

Ta thấy tần số tương đối (và do đó cả xác suất) của mặt 1 chấm là 0,175, tức là 17,5%. Con số này gần với xác suất $\frac{1}{6}$, tức là 0,16666…, nhưng không hoàn toàn bằng.

Điều đó không có nghĩa là một trong hai xác suất sai. Làm ra một con xúc xắc cân đối tuyệt đối không hề dễ, và việc gieo xúc xắc 600 lần cũng có thể khó thực hiện cho chuẩn.

Xác suất lí thuyết chỉ đúng trong điều kiện lí tưởng, khi ta gieo xúc xắc vô hạn lần. Gieo một con xúc xắc cân đối lí tưởng càng nhiều lần thì tần số tương đối của từng mặt càng gần với xác suất lí thuyết.

Vì vậy ta phân biệt hai loại xác suất: xác suất lí thuyết, dựa trên các điều kiện lí tưởng, và xác suất thực nghiệm, tính từ tần số tương đối trong dữ liệu của ta.

Muốn tính xác suất thực nghiệm, ta cần có một mẫu số liệu đủ lớn. Chẳng hạn ta mới theo dõi anh Hùng có một tháng; sẽ tốt hơn nhiều nếu theo dõi ít nhất một năm.

Phân bố của biến liên tục

Với biến liên tục, ta không xác định xác suất tại một điểm mà luôn xét trên một khoảng. Xác suất bằng diện tích phần hình phẳng nằm dưới đường cong, nên để tính ta cần đến tích phân. Đồ thị của một biến liên tục có thể có dạng như sau, chẳng hạn khi đo một độ lệch nào đó tính bằng cm:

Trục hoành biểu diễn các giá trị tính bằng cm, trục tung biểu diễn tần số tương đối. Giả sử ta chỉ đo được các giá trị trong đoạn [−4; 4]. Khi đó xác suất thực nghiệm để đo được độ lệch trong đoạn này là 1, tức là 100%.

Vậy diện tích liên quan gì đến điều này? Ta nói rằng diện tích ${\int }_{-4}^{4}p(x)$, với p là hàm xác suất, ứng với đúng 100% đó. Nếu hỏi xác suất thực nghiệm để giá trị nằm trong đoạn [0; 4] là bao nhiêu, ta được hình như sau:

Phần tô màu ở hình trước ứng với 100%, phần này ứng với 50%, vì diện tích rõ ràng chỉ bằng một nửa. Nói chính xác, xác suất thực nghiệm bằng tỉ số

$$\frac{{\int }_0^{4}p(x)}{{\int }_{-4}^{4}p(x)}.$$

Luật số lớn

Phần trên liên quan đến luật số lớn nổi tiếng. Nói một cách không hình thức, luật này khẳng định rằng khi thực hiện rất nhiều phép thử độc lập, tần số tương đối (xác suất thực nghiệm) sẽ tiến gần đến xác suất lí thuyết.

Ta lại hình dung qua việc tung đồng xu. Đồng xu có thể ra mặt sấp hoặc mặt ngửa, mỗi mặt có xác suất $\frac{1}{2}$, tức 50%. Nếu tung đồng xu 4 lần, có thể được 3 lần mặt ngửa và 1 lần mặt sấp. Khi đó tần số tương đối là $\frac{3}{4}$ và $\frac{1}{4}$, khá xa so với $\frac{1}{2}$.

Nếu tung tất cả 10 lần, có thể được 7 lần mặt ngửa và 3 lần mặt sấp. Tần số tương đối là $\frac{7}{10}$ và $\frac{3}{10}$. Các số này vẫn còn xa $\frac{1}{2}$, nhưng đã gần giá trị một nửa hơn so với các tần số trước.

Ta có thể tiếp tục như vậy. Nếu tung đồng xu 1.000 lần, có thể được 520 lần mặt ngửa và 480 lần mặt sấp. Tần số tương đối là $\frac{13}{25}$ và $\frac{12}{25}$, đã rất gần giá trị một nửa (để dễ hình dung: $\frac{13}{25}=0,52$).

Chú ý rằng dù tần số tương đối gần giá trị một nửa hơn nhiều, tần số lại cách tần số “lí tưởng” xa hơn nhiều. Khi tung đồng xu 10 lần, tần số lí tưởng của mỗi mặt là 5, tức là 5 lần mặt ngửa và 5 lần mặt sấp. Vì mặt ngửa xuất hiện 7 lần nên chênh lệch là 2 lần tung: 7 − 5 = 2. Kết quả “lệch 2 lần tung” so với trường hợp lí tưởng.

Còn khi tung đồng xu 1.000 lần, mặt ngửa xuất hiện 520 lần, chênh lệch 20 lần so với lí tưởng, vì trong trường hợp lí tưởng mỗi mặt phải xuất hiện 500 lần. Có vẻ như tung càng nhiều lần thì kết quả càng xa lí tưởng.

Nhưng điều đó không sao cả: luật số lớn không khẳng định tần số tiến gần đến lí tưởng, mà là tần số tương đối. Và tần số tương đối đúng là tiến gần. Nghĩa là tính theo tần số thì kết quả có thể ngày càng xa, nhưng tính theo tần số tương đối thì ngày càng gần.