Khoảng cách giữa hai đường thẳng song song

Giữa hai đường thẳng song song trong mặt phẳng, ta có thể định nghĩa khoảng cách.

Đề bài

Cho hai đường thẳng song song p: −x +3y − 16 = 0 và q: −x + 3y − 4 = 0. Làm thế nào tìm khoảng cách giữa hai đường thẳng này?

Bài toán này dễ dàng đưa về khoảng cách từ điểm đến đường thẳng. Chỉ cần chọn một điểm trên một trong hai đường thẳng rồi tính khoảng cách từ điểm đó đến đường thẳng còn lại.

Trên đường thẳng q ta chọn điểm A(8; 4). Thay vào phương trình của đường thẳng q để kiểm tra điểm này thật sự thuộc đường thẳng:

$$\begin{array}{rcl}-x+3y-4& =& 0\\ -8+3\cdot 4-4& =& 0\\ -8+12-4& =& 0\\ 0& =& 0\end{array}$$

Bây giờ ta tính khoảng cách từ điểm A đến đường thẳng p. Công thức là

$$\begin{array}{rcl}d(A,p)& =& \frac{|a\cdot a_1+b\cdot a_2+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}\end{array}$$

Chỉ cần thay số:

$$\begin{array}{rcl}d(A,p)& =& \frac{|a\cdot a_1+b\cdot a_2+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}\\ d(A,p)& =& \frac{|-1\cdot 8+3\cdot 4-16|}{\sqrt{(-1{)}^2+3^2}}\\ & =& \frac{12}{\sqrt{10}}\approx \mathrm{3,795}\end{array}$$