Khoảng cách từ điểm đến đường thẳng

Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng bằng độ dài của đoạn thẳng “ngắn nhất” nối điểm đó với đường thẳng.

Đề bài

Cho đường thẳng p và điểm A không thuộc đường thẳng này. Ta cần tìm khoảng cách từ điểm A đến đường thẳng p. Chẳng hạn, xét đường thẳng có phương trình tổng quát p: −x + 2y − 12 = 0 và điểm A(6; 4):

Khoảng cách từ điểm đến đường thẳng bằng độ dài đoạn thẳng AB, trong đó đường thẳng AB vuông góc với đường thẳng p và điểm B thuộc đường thẳng p. Ta kí hiệu đường thẳng AB là q.

Giải bằng công thức

Nếu không muốn suy luận hay tính toán “phức tạp”, bạn chỉ cần nhớ công thức. Với điểm A(a₁; a₂) và đường thẳng p có phương trình tổng quát p: ax + by + c = 0, khoảng cách từ điểm A đến đường thẳng p bằng:

$$d(A,p)=\frac{|a\cdot a_1+b\cdot a_2+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}$$

Áp dụng công thức cho ví dụ trên. Thay số:

$$\begin{array}{rcl}d(A,p)& =& \frac{|-1\cdot 6+2\cdot 4-12|}{\sqrt{(-1{)}^2+2^2}}\\ & =& \frac{10}{\sqrt{5}}=\frac{10}{\sqrt{5}}\cdot \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}\\ & =& \frac{10\cdot \sqrt{5}}{5}=2\cdot \sqrt{5}\\ & \approx & \mathrm{4,472}1\end{array}$$

Giải bằng cách tìm toạ độ giao điểm

Cách khác là tìm toạ độ của điểm B. Khi đó độ dài đoạn thẳng AB tính dễ dàng qua độ dài của vectơ hoặc bằng định lí Pythagore. Để tìm điểm B, ta dùng phương trình của đường thẳng q. Từ phương trình tổng quát của đường thẳng p, ta suy ra ngay vectơ pháp tuyến của đường thẳng p là $\overrightarrow{n}=(-1;2)$. Vì hai đường thẳng p và q vuông góc nên bất kì vectơ $\overrightarrow{m}$ nào vuông góc với vectơ $\overrightarrow{n}$ cũng là vectơ pháp tuyến của đường thẳng q.

Chẳng hạn vectơ $\overrightarrow{m}=(2;1)$ vuông góc với $\overrightarrow{n}$ (có thể kiểm tra bằng tích vô hướng). Vậy đường thẳng q có phương trình tổng quát

$$q:2x+y+c=0$$

Hệ số c tìm được bằng cách thay x và y bằng toạ độ của một điểm chắc chắn thuộc đường thẳng. Ở đây đó là điểm A(6; 4). Ta được:

$$\begin{array}{rcl}2x+y+c& =& 0\\ 2\cdot 6+4+c& =& 0\\ c& =& -16\end{array}$$

Phương trình tổng quát của đường thẳng q là:

$$q:2x+y-16=0$$

Bây giờ ta tìm giao điểm của hai đường thẳng. Muốn vậy, ghép phương trình của hai đường thẳng thành hệ phương trình rồi giải:

$$\begin{array}{rcl}-x+2y-12& =& 0\\ 2x+y-16& =& 0\end{array}$$

Nhân phương trình thứ nhất với 2, giữ nguyên phương trình thứ hai:

$$\begin{array}{rcl}-2x+4y-24& =& 0\\ 2x+y-16& =& 0\end{array}$$

Cộng hai phương trình:

$$\begin{array}{rcl}-2x+4y-24+(2x+y-16)& =& 0\\ 4y+y-24-16& =& 0\\ 5y& =& 40\\ y& =& 8\end{array}$$

Tung độ của điểm B là y = 8. Thay giá trị này vào một trong hai phương trình, chẳng hạn −x + 2y − 12 = 0:

$$\begin{array}{rcl}-x+2y-12& =& 0\\ -x+2\cdot 8-12& =& 0\\ -x+4& =& 0\\ x& =& 4\end{array}$$

Điểm B có toạ độ B(4; 8). Đã biết toạ độ của cả hai điểm, việc tính độ dài đoạn thẳng trở nên đơn giản. Từ đoạn thẳng AB ta lập vectơ $\overrightarrow{AB}$ và tính độ dài của vectơ này.

$$\overrightarrow{AB}=B-A=(4;8)-(6;4)=(-2;4)$$

Độ dài của vectơ (−2; 4) bằng:

$$|\overrightarrow{AB}|=\sqrt{(-2{)}^2+4^2}=\sqrt{4+16}=\sqrt{20}=\sqrt{4}\cdot \sqrt{5}=2\cdot \sqrt{5}\approx \mathrm{4,472}1$$