평행한 두 직선 사이의 거리

평면 위의 평행한 두 직선 사이에는 거리를 정의할 수 있다.

문제

평행한 두 직선 p: −x +3y − 16 = 0과 q: −x + 3y − 4 = 0이 있다. 두 직선 사이의 거리는 어떻게 구할까?

이런 두 직선 사이의 거리는 점과 직선 사이의 거리로 쉽게 바꿀 수 있다. 한 직선 위에 점을 하나 잡고, 이 점과 다른 직선 사이의 거리를 구하면 된다.

직선 q 위에 점 A(8, 4)를 잡을 수 있다. 직선 q의 방정식에 대입해서 이 점이 정말 직선 위에 있는지 확인한다.

$$\begin{array}{rcl}-x+3y-4& =& 0\\ -8+3\cdot 4-4& =& 0\\ -8+12-4& =& 0\\ 0& =& 0\end{array}$$

이제 앞에서 말한 점 A와 직선 p 사이의 거리를 구한다. 공식은 다음과 같다.

$$\begin{array}{rcl}v(A,p)& =& \frac{|a\cdot a_1+b\cdot a_2+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}\end{array}$$

대입하기만 하면 된다.

$$\begin{array}{rcl}v(A,p)& =& \frac{|a\cdot a_1+b\cdot a_2+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}\\ v(A,p)& =& \frac{|-1\cdot 8+3\cdot 4-16|}{\sqrt{(-1{)}^2+3^2}}\\ & =& \frac{12}{\sqrt{10}}\fallingdotseq 3.795\end{array}$$