Phương trình đường tròn

Đường tròn gồm tất cả các điểm trong mặt phẳng cách tâm O một khoảng r. Phương trình đường tròn chính là mệnh đề đó viết bằng toạ độ: điểm X(x; y) thuộc đường tròn khi và chỉ khi nó cách tâm O(m; n) đúng một khoảng r. Còn khoảng cách giữa hai điểm thì tính được nhờ định lí Pythagore.

Nối tâm O với điểm X rồi vẽ thêm cạnh góc vuông nằm ngang và cạnh góc vuông thẳng đứng, ta được một tam giác vuông. Cạnh góc vuông nằm ngang có độ dài x − m, cạnh thẳng đứng có độ dài y − n, còn cạnh huyền là bán kính r. Theo định lí Pythagore, ta có

$$(x-m{)}^2+(y-n{)}^2=r^2.$$

Nếu điểm X nằm bên trái hoặc phía dưới tâm thì hiệu x − m hoặc y − n âm. Điều đó không ảnh hưởng gì, vì bình phương không bao giờ âm. Ai đã biết độ dài của vectơ sẽ nhận ra đây là cùng một công thức: vế trái là bình phương độ dài của vectơ $\overrightarrow{OX}$.

Toạ độ của mọi điểm thuộc đường tròn đều thoả mãn phương trình, và chỉ những điểm đó. Điểm nằm bên trong đường tròn cách tâm một khoảng nhỏ hơn r, nên vế trái nhỏ hơn r². Với điểm nằm bên ngoài thì ngược lại.

Dạng chính tắc

Phương trình

$$(x-m{)}^2+(y-n{)}^2=r^2$$

gọi là phương trình đường tròn dạng chính tắc. Đây là dạng tiện nhất, vì từ phương trình này ta đọc ngay được tâm O(m; n) và bán kính r.

Ta thử viết phương trình đường tròn có tâm O(2; −1) và bán kính r = 3. Thay m = 2, n = −1 và r = 3:

$$(x-2{)}^2+(y-(-1){)}^2=3^2$$

Trừ đi −1 là cộng 1, còn 3 bình phương bằng 9:

$$(x-2{)}^2+(y+1{)}^2=9$$

Đây chính là chỗ dễ sai nhất. Tâm O(2; −1) xuất hiện trong phương trình với dấu ngược lại: số 2 thành −2, còn −1 thành +1. Nếu viết (x + 2)² + (y − 1)² = 9 thì ta được đường tròn tâm (−2; 1), nằm ở chỗ hoàn toàn khác. Khi đọc phương trình cũng dễ nhầm như vậy: từ phương trình (x + 5)² + (y − 3)² = 16 ta đọc được tâm O(−5; 3), không phải (5; −3). Chỗ dễ nhầm thứ ba: vế phải là r², không phải r. Đường tròn này có bán kính $\sqrt{16}=4$, không phải 16.

Đơn giản nhất là đường tròn có tâm tại gốc toạ độ (0; 0). Hai dấu ngoặc trở nên gọn hơn và còn lại phương trình x² + y² = r².

Đường tròn có đường kính cho trước

Đề bài thường không cho sẵn tâm hay bán kính. Chẳng hạn, ta cần tìm đường tròn có đường kính là đoạn thẳng AB, với A(−1; 2) và B(5; −6).

Tâm đường tròn nằm chính giữa đường kính, nên cũng là trung điểm của đoạn thẳng AB. Toạ độ của nó là trung bình cộng các toạ độ tương ứng của hai điểm A và B:

$$O=(\frac{-1+5}{2};\frac{2+(-6)}{2})=(\frac{4}{2};\frac{-4}{2})=(2;-2)$$

Bán kính bằng một nửa đường kính, nên trước hết ta tính độ dài đoạn thẳng AB. Hiệu các toạ độ là 5 − (−1) = 6 và −6 − 2 = −8. Áp dụng định lí Pythagore:

$$|AB|=\sqrt{6^2+(-8{)}^2}=\sqrt{36+64}=\sqrt{100}=10$$

Đường kính bằng 10, nên bán kính r = 5. Nếu lấy cả độ dài |AB| làm bán kính thì sai: đường tròn sẽ lớn gấp đôi. Thay vào dạng chính tắc:

$$(x-2{)}^2+(y+2{)}^2=25$$

Thử lại bằng cách thay toạ độ điểm A: (−1 − 2)² + (2 + 2)² = 9 + 16 = 25. Đúng, điểm A thuộc đường tròn.

Dạng tổng quát

Khai triển các bình phương trong dạng chính tắc, ta được phương trình đường tròn dạng tổng quát. Xuất phát từ đường tròn đầu tiên (x − 2)² + (y + 1)² = 9, ta khai triển hai bình phương theo các hằng đẳng thức (a − b)² = a² − 2ab + b² và (a + b)² = a² + 2ab + b²:

$$\begin{array}{rcl}(x-2{)}^2+(y+1{)}^2& =& 9\\ x^2-4x+4+y^2+2y+1& =& 9\end{array}$$

Sắp xếp lại các hạng tử và chuyển số 9 sang vế trái để vế phải bằng 0:

$$x^2+y^2-4x+2y+4+1-9=0$$

Cộng các số:

$$x^2+y^2-4x+2y-4=0$$

Đây vẫn là đường tròn đó, chỉ viết theo cách khác. Dạng tổng quát là x² + y² + ax + by + c = 0. Để ý rằng hệ số của x² và y² bằng nhau và không có hạng tử x · y. Thường nhờ đó mà nhận ra phương trình đường tròn, nhưng chỉ khi chuyển ngược về dạng chính tắc mới chắc chắn. Phương trình x² + 4y² = 4 không còn là phương trình đường tròn mà là đường elip.

Từ dạng tổng quát, ta không đọc ngay được tâm và bán kính, nên cần biết cách chuyển ngược lại.

Từ dạng tổng quát về dạng chính tắc

Cho phương trình x² + y² + 6x − 8y = 0; ta muốn tìm tâm và bán kính của đường tròn. Ta dùng phép biến đổi về bình phương đầy đủ, riêng cho x và riêng cho y. Trước hết, nhóm các hạng tử theo từng biến:

$$(x^2+6x)+(y^2-8y)=0$$

Một nửa của 6 là 3, nhưng (x + 3)² = x² + 6x + 9, tức là ta đã thêm 9 nên phải trừ đi 9. Do đó x² + 6x = (x + 3)² − 9. Một nửa của −8 là −4, nên y² − 8y = (y − 4)² − 16. Thay vào:

$$(x+3{)}^2-9+(y-4{)}^2-16=0$$

Chuyển các số sang vế phải:

$$(x+3{)}^2+(y-4{)}^2=25$$

Xong, đây là dạng chính tắc. Chú ý dấu: tâm là O(−3; 4) và bán kính $r=\sqrt{25}=5$. Phương trình ban đầu không có hệ số tự do, vì vậy điểm (0; 0) thoả mãn phương trình, tức là đường tròn đi qua gốc toạ độ. Thử lại: (0 + 3)² + (0 − 4)² = 9 + 16 = 25.

Nếu sau khi biến đổi về bình phương đầy đủ mà vế phải là số âm thì phương trình không phải phương trình đường tròn, vì tổng của hai bình phương không thể âm. Nếu vế phải bằng 0 thì chỉ có tâm thoả mãn phương trình.

Điểm có thuộc đường tròn không?

Thay toạ độ của điểm vào vế trái của dạng chính tắc rồi so sánh kết quả với r². Lấy điểm A(1; 2) và đường tròn đầu tiên (x − 2)² + (y + 1)² = 9:

$$(1-2{)}^2+(2+1{)}^2=1+9=10$$

Kết quả là 10, lớn hơn 9. Vậy điểm A cách tâm xa hơn bán kính, nên nằm bên ngoài đường tròn. Nếu kết quả đúng bằng 9 thì điểm thuộc đường tròn, nếu nhỏ hơn thì điểm nằm bên trong.