Vectơ

Vectơ biểu diễn một đại lượng có cả độ lớn lẫn hướng. Điểm này phân biệt vectơ với một số thông thường, còn gọi là đại lượng vô hướng, vốn chỉ có độ lớn.

Đoạn thẳng có hướng

Trong mặt phẳng cho hai điểm phân biệt A, B. Nối hai điểm này ta được một đoạn thẳng. Đoạn thẳng đó thường viết là AB, và thứ tự hai điểm không quan trọng: đoạn thẳng AB hoàn toàn giống đoạn thẳng BA.

Không phải lúc nào điều này cũng tiện, vì vậy ta đưa ra khái niệm đoạn thẳng có hướng, trong đó phân biệt điểm đầu và điểm cuối. Đoạn thẳng có hướng AB có điểm đầu A và điểm cuối B. Trên hình, đoạn thẳng có hướng được vẽ bằng mũi tên; trong văn bản, ta đặt mũi tên phía trên hai điểm: $\overrightarrow{AB}$. Ví dụ:

Đoạn thẳng AB vẽ màu xanh dương, đoạn thẳng có hướng $\overrightarrow{CD}$ vẽ màu đỏ. Nếu đoạn thẳng có hướng $\overrightarrow{AB}$ có A = B thì ta gọi đó là đoạn thẳng có hướng-không (ứng với vectơ-không). Đoạn thẳng này có điểm đầu trùng điểm cuối, nên thật ra chỉ là một điểm, khó mà gọi là đoạn thẳng.

Độ dài của đoạn thẳng có hướng bằng độ dài của đoạn thẳng thông thường: $|\overrightarrow{AB}|=|AB|$.

Hướng của đoạn thẳng có hướng

Xét hai đoạn thẳng có hướng $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{CD}$ sau:

Nhìn qua cũng thấy hai đoạn thẳng có hướng này cùng hướng. Có thể định nghĩa chặt chẽ khái niệm “hướng”, nhưng ở đây ta dừng lại ở cách hiểu trực quan. Nói đơn giản, hai đoạn thẳng có hướng là cùng hướng nếu chúng song song và đoạn này không chỉ về phía ngược với đoạn kia. Sau đây là các cặp đoạn thẳng có hướng cùng hướng:

Cặp cuối cùng, màu xanh lá, là hai đoạn thẳng có hướng $\overrightarrow{IJ}$ và $\overrightarrow{IK}$. Tiếp theo là ví dụ về các cặp đoạn thẳng không cùng hướng:

Vectơ là gì

Trở lại hình vẽ hai đoạn thẳng có hướng cùng hướng:

Ta thấy hai đoạn thẳng có hướng này không chỉ cùng hướng mà còn có cùng độ dài. Chúng chỉ khác nhau ở vị trí. Những đoạn thẳng có hướng cùng hướng và cùng độ dài như vậy biểu diễn cùng một vectơ.

Vì thế có vô số cách vẽ một vectơ trong mặt phẳng (trong không gian…): chỉ cần lấy một đoạn thẳng có hướng bất kì có cùng hướng và cùng độ dài với vectơ đã cho. Tất cả các đoạn thẳng có hướng sau đây đều biểu diễn cùng một vectơ:

Một vectơ chỉ phụ thuộc vào độ dài và hướng. Độ dài và hướng của vectơ chính là độ dài và hướng của đoạn thẳng có hướng biểu diễn vectơ đó. Vectơ được kí hiệu bằng mũi tên phía trên, giống như đoạn thẳng có hướng. Chẳng hạn ta có vectơ $\overrightarrow{AB}$, hoặc viết gọn là vectơ $\overrightarrow{u}$.

Mỗi đoạn thẳng có hướng cụ thể là một cách biểu diễn vectơ. Hình trên có tất cả 7 đoạn thẳng có hướng, mỗi đoạn là một cách biểu diễn vectơ. Các đoạn thẳng có hướng $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{MN}$ biểu diễn cùng một vectơ, chẳng hạn $\overrightarrow{v}$, nhưng đó là hai cách biểu diễn khác nhau của vectơ $\overrightarrow{v}$.

Hai vectơ cùng phương

Cho hai vectơ $\overrightarrow{u},\overrightarrow{v}$. Ta nói hai vectơ này cùng phương nếu chúng song song. Hai vectơ $\overrightarrow{u},\overrightarrow{v}$ không nhất thiết có cùng độ dài. Hướng của chúng phải giống nhau hoặc ngược nhau. Ví dụ về các vectơ cùng phương:

Tất cả các vectơ màu đỏ đều cùng phương, vì chúng song song. Hướng ở đây không quan trọng: vectơ chỉ lên góc trên bên phải hay xuống góc dưới bên trái đều được. Vectơ màu xanh dương $\overrightarrow{GH}$ không cùng phương với chúng.

Nếu hai vectơ cùng phương có cùng hướng thì ta nói chúng cùng hướng, còn nếu hướng của chúng khác nhau thì chúng ngược hướng. Trở lại hình trên: hai vectơ $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{EF}$ cùng hướng, hai vectơ $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{KL}$ ngược hướng.

Toạ độ của vectơ

Ta đã biết một vectơ có thể biểu diễn bằng vô số đoạn thẳng có hướng. Trong số đó có một đoạn có điểm đầu tại gốc toạ độ, tức điểm (0; 0) trong mặt phẳng và điểm (0; 0; 0) trong không gian. Xét hình sau:

Các đoạn thẳng có hướng $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{CD}$ cùng hướng và cùng độ dài, nên chúng là cùng một vectơ. Trong đó đoạn $\overrightarrow{CD}$ xuất phát từ gốc toạ độ, điểm C có toạ độ (0; 0). Cặp đoạn $\overrightarrow{EF}$ và $\overrightarrow{KL}$ cũng vậy.

Vì đã biết các đoạn $\overrightarrow{CD},\overrightarrow{EF}$ xuất phát từ gốc toạ độ, ta có thể quy ước chỉ cần ghi điểm cuối của các vectơ này. Điểm đầu đều giống nhau (là gốc toạ độ), nên để phân biệt các đoạn $\overrightarrow{CD},\overrightarrow{EF}$ ta chỉ cần ghi lại điểm cuối của chúng.

Ta nói vectơ $\overrightarrow{AB}$, và do đó cả vectơ $\overrightarrow{CD}$, có toạ độ (3; 1), chính là toạ độ của điểm D, điểm cuối của đoạn $\overrightarrow{CD}$. Còn vectơ $\overrightarrow{KL}$ có toạ độ (−1; 4), là toạ độ của điểm F.

Cách tính toạ độ của vectơ

Bây giờ ta xác định toạ độ của vectơ bằng tính toán. Giả sử đã biết toạ độ của hai điểm A, B xác định vectơ $\overrightarrow{u}$. Cho vectơ $\overrightarrow{u}$ xác định bởi hai điểm A(2; 3) và B(5; 4). Đó là vectơ màu đỏ ở phía trên trong hình trước. Làm thế nào tìm được toạ độ của điểm D, tức điểm cuối của đoạn thẳng có hướng biểu diễn vectơ $\overrightarrow{u}$ và xuất phát từ gốc toạ độ?

Ta chỉ việc tịnh tiến cả đoạn $\overrightarrow{AB}$ về gốc toạ độ. Để đưa điểm A về gốc toạ độ, phải dời nó sang trái 2 ô và xuống dưới 3 ô. Với điểm B cũng làm như vậy. Nói cách khác, lấy toạ độ của cả hai điểm A và B trừ đi toạ độ của điểm A. Khi đó đoạn $\overrightarrow{AB}$ được dời đến vị trí của đoạn $\overrightarrow{CD}$. Ta viết:

$$\begin{array}{rcl}A-A=(2;3)-(2;3)& =& (0;0)\\ B-A=(5;4)-(2;3)& =& (3;1)\end{array}$$

Vậy toạ độ của vectơ $\overrightarrow{u}$ là (3; 1), tức toạ độ điểm cuối của đoạn thẳng có hướng có điểm đầu tại gốc toạ độ.

Tổng quát, nếu vectơ $\overrightarrow{u}$ xác định bởi hai điểm A(x₁; y₁) và B(x₂; y₂) thì toạ độ của vectơ $\overrightarrow{u}$ là:

$$B-A=(x_2-x_1;y_2-y_1)$$

Toạ độ của vectơ $\overrightarrow{u}$ viết trong ngoặc tròn, nên toạ độ của vectơ $\overrightarrow{u}$ ở trên được viết là $\overrightarrow{u}=(3;1)$.

Trở lại hình vẽ, ta tính thêm toạ độ của vectơ $\overrightarrow{KL}$. Toạ độ của các điểm K và L là K(−2; 1), L(−3; 5). Toạ độ của vectơ là

$$L-K=(-3;5)-(-2;1)=(-1;4)$$

Ta thấy kết quả đúng bằng toạ độ của điểm F.

Cách tính độ dài của vectơ

Khi đã biết toạ độ của vectơ, ta dễ dàng tính được độ dài của nó. Theo định lí Pythagore, dễ suy ra độ dài của vectơ $\overrightarrow{u}=(u_1;u_2)$ trong mặt phẳng là

$$|\overrightarrow{u}|=\sqrt{u_1^2+u_2^2}$$

Hình sau cho thấy các toạ độ của vectơ trùng với độ dài hai cạnh góc vuông của tam giác vừa dựng, và áp dụng định lí Pythagore ta tính được ngay độ dài của vectơ.

Với vectơ $\overrightarrow{u}=(2;4)$, độ dài của nó là

$$|\overrightarrow{u}|=\sqrt{u_1^2+u_2^2}=\sqrt{2^2+4^2}=\sqrt{4+16}=\sqrt{20}$$

Sau đây là hai bài tập luyện tập.

1. Tìm toạ độ của vectơ $\overrightarrow{u}$ xác định bởi hai điểm A(3; 7), B(−1; 0). Cách làm rất đơn giản: $\overrightarrow{u}=(u_1;u_2)=B-A$.

   $$u_1=-1-3=-4,u_2=0-7=-7$$

   Vậy vectơ có toạ độ $\overrightarrow{u}=(-4;-7)$.

2. Biết vectơ $\overrightarrow{u}$ có toạ độ $\overrightarrow{u}=(2;3)$ và xác định bởi hai điểm A(6; 6) và B(x₁; y₁), tức là $\overrightarrow{u}=\overrightarrow{AB}$. Tìm toạ độ của điểm B.

   Ta lại lập phương trình quen thuộc và rút ẩn từ đó:

   $$\begin{array}{rcl}{u}_1& =& x_1-6\\ x_1& =& u_1+6\\ x_1& =& 2+6\\ x_1& =& 8\end{array}$$

   Toạ độ thứ hai tìm theo cách tương tự:

   $$\begin{array}{rcl}{u}_2& =& y_1-6\\ y_1& =& u_2+6\\ y_1& =& 3+6\\ y_1& =& 9\end{array}$$

   Điểm B có toạ độ (8; 9).