Phương trình tham số của đường thẳng

Phương trình tham số là dạng phương trình cơ bản của đường thẳng trong mặt phẳng hoặc trong không gian.

Đặt vấn đề

Làm thế nào để mô tả một đường thẳng trong mặt phẳng? Ta biết rằng để xác định một đường thẳng, chỉ cần hai điểm phân biệt, chẳng hạn A và B. Nói cách khác, qua hai điểm phân biệt có đúng một đường thẳng p:

Có thể mô tả đường thẳng này theo cách khác, bằng vectơ, được không? Ta vẽ thêm vào hình một vectơ $\overrightarrow{u}$ song song với đường thẳng p.

Vectơ $\overrightarrow{u}$ này có cùng phương với đường thẳng p. Như vậy là tốt, nhưng chỉ có phương thì chưa đủ. Nếu mô tả đường thẳng p chỉ bằng vectơ $\overrightarrow{u}$, ta mới xác định được phương của đường thẳng, chưa xác định được vị trí cụ thể của nó. Khi đó ta không phân biệt được ba đường thẳng sau:

Các đường thẳng mới p₁ và p₂ cùng phương với đường thẳng p và cùng phương với vectơ $\overrightarrow{u}$. Để xác định duy nhất đường thẳng p, ta cần biết thêm ít nhất một điểm thuộc đường thẳng p. Nếu nói đường thẳng p có phương cho bởi vectơ $\overrightarrow{u}$ và đi qua điểm A thì đường thẳng p được xác định duy nhất. Các đường thẳng p₁ và p₂ tuy cùng phương nhưng không đường nào đi qua điểm A.

Mọi đường thẳng đều có thể viết dưới dạng $p(A,\overrightarrow{u})$, trong đó A là một điểm thuộc đường thẳng và $\overrightarrow{u}$ là một vectơ song song với đường thẳng. Chẳng hạn, đường thẳng p₁ có thể viết là $p(G,\overrightarrow{u})$, còn đường thẳng p₂ là $p(E,\overrightarrow{u})$ hoặc $p(F,\overrightarrow{u})$: có thể dùng bất kì điểm nào thuộc đường thẳng.

Vectơ chỉ phương của đường thẳng

Với đường thẳng $p(A,\overrightarrow{u})$, vectơ $\overrightarrow{u}$ gọi là vectơ chỉ phương của đường thẳng. Cách đơn giản nhất để tìm vectơ chỉ phương là lấy hai điểm A, B thuộc đường thẳng p; khi đó vectơ chỉ phương là $\overrightarrow{AB}$. Toạ độ của vectơ này bằng hiệu các toạ độ $\overrightarrow{u}=B-A$. Ví dụ:

Cho đường thẳng p và hai điểm A, B thuộc nó. Vectơ chỉ phương là $\overrightarrow{AB}$, nên toạ độ của vectơ $\overrightarrow{u}$ tính như sau:

$$\overrightarrow{u}=(u_1;u_2)=(6;6)-(2;4)=(4;2)$$

Vectơ $\overrightarrow{u}$ có cùng độ dài với $\overrightarrow{AB}$. Có thể vẽ vectơ $\overrightarrow{u}$ vào hình như sau:

Điểm cuối của vectơ $\overrightarrow{u}$ có toạ độ (4; 2), đúng như đã tính, và có thể thấy vectơ này song song với đường thẳng. Vectơ chỉ phương chỉ cho biết phương của đường thẳng, hay nói cách khác là “độ nghiêng” của đường thẳng. Vectơ chỉ phương chỉ cần song song với đường thẳng. Vì vậy, nếu thay $\overrightarrow{AB}$ bằng $\overrightarrow{BA}$, ta được vectơ chỉ phương $\overrightarrow{v}=A-B$:

$$\overrightarrow{v}=(v_1;v_2)=(2;4)-(6;6)=(-4;-2)$$

Biểu diễn trên hình:

Ta thấy vectơ $\overrightarrow{v}$ màu xanh lá là vectơ đối của vectơ $\overrightarrow{u}$ màu xanh dương. Tuy vậy, cả hai đều là vectơ chỉ phương của đường thẳng p, vì cả hai đều song song với đường thẳng p.

Phương trình tham số của đường thẳng

Cho đường thẳng p, điểm A thuộc đường thẳng đó và vectơ chỉ phương $\overrightarrow{u}$. Cộng điểm A với vectơ $\overrightarrow{u}$ thì được điểm nào? Xét hình sau:

Cộng một điểm thuộc đường thẳng với vectơ chỉ phương, ta được điểm X cũng thuộc đường thẳng đó. Thực chất ta chỉ “dời điểm A theo hướng của vectơ một đoạn bằng độ dài của vectơ $\overrightarrow{u}$”. Điểm X có toạ độ:

$$X=(x;y)=A+\overrightarrow{u}=(2;1)+(1;3)=(3;4)$$

Nếu lấy một nửa vectơ $\overrightarrow{u}$ hoặc gấp đôi vectơ đó thì sao? Hay nhân với −1? Hình sau cho câu trả lời:

Ta thấy khi cộng điểm A với một bội bất kì của vectơ chỉ phương $\overrightarrow{u}$, ta luôn được một điểm thuộc đường thẳng p. Điểm A màu đỏ là “điểm xuất phát”, các điểm màu xanh lá là kết quả của phép cộng điểm A với các bội của vectơ chỉ phương $\overrightarrow{u}$ màu xanh dương.

Thực ra, mọi điểm X thuộc đường thẳng p đều có thể biểu diễn thành tổng của điểm A với tích của vectơ chỉ phương $\overrightarrow{u}$ với một số t nào đó, trong đó t là số thực. Với mọi điểm X thuộc đường thẳng p, tồn tại t ∈ ℝ sao cho

$$X=A+t\cdot \overrightarrow{u}.$$

Nói cách khác, nếu lần lượt thay t trong phương trình này bằng mọi số thực, ta sẽ được tất cả các điểm tạo nên đường thẳng p, tức là cả đường thẳng p. Phương trình này gọi là phương trình tham số của đường thẳng $p(A,\overrightarrow{u})$.

Phương trình trên có thể thay bằng một hệ phương trình. Nếu điểm X có toạ độ (x; y), điểm A có toạ độ (a₁; a₂) và vectơ $\overrightarrow{u}$ có toạ độ (u₁; u₂) thì ta có thể viết

$$(x;y)=(a_1;a_2)+t\cdot (u_1;u_2),$$

rồi viết lại thành hệ phương trình đã nói (viết riêng hoành độ x và tung độ y):

$$\begin{array}{rcl}x& =& a_1+t\cdot u_1\\ y& =& a_2+t\cdot u_2\end{array}$$

Mọi đường thẳng trong mặt phẳng đều có thể biểu diễn bằng hệ phương trình này.

Giới hạn tham số

Ở phần trước ta đã thấy: nếu thay tham số t trong phương trình tham số bằng mọi số thực thì ta được một đường thẳng. Điều gì xảy ra nếu không lấy mọi số thực mà chỉ lấy, chẳng hạn, một nửa trong số đó: chỉ các số thực không âm?

Ta sẽ được một tia. Trở lại hình vẽ này…

…ta thấy với mọi bội dương (tức tham số t dương) của vectơ chỉ phương $\overrightarrow{u}$, ta được các điểm X nằm “phía trên” điểm A. Ngược lại, nếu cộng với bội âm của $\overrightarrow{u}$ (tức tham số t âm) thì ta được điểm nằm ở “phía bên kia”, “phía dưới” điểm A. Nếu thay tham số t bằng mọi số không âm, tức t ∈ [0; +∞), ta được tia r tô màu đỏ sau đây:

Đường nét đứt biểu diễn các điểm mà ta sẽ được nếu ngược lại, thay tham số t bằng mọi số âm.

Nếu thay tham số t bằng mọi số thuộc đoạn đơn vị [0; 1], ta được một đoạn thẳng có độ dài bằng độ dài của vectơ chỉ phương. Đó là đoạn thẳng màu đỏ sau:

Ví dụ

Trong mặt phẳng cho hai điểm A(−1; 3) và B(2; 5).

1. Lập phương trình tham số của đường thẳng p đi qua hai điểm A, B. Trước hết ta tìm vectơ chỉ phương. Lấy $\overrightarrow{AB}$, khi đó vectơ chỉ phương $\overrightarrow{u}$ có toạ độ

   $$\overrightarrow{u}=(u_1;u_2)=B-A=(2;5)-(-1;3)=(3;2)$$

   Phương trình tham số của đường thẳng có dạng tổng quát $X=A+t\cdot \overrightarrow{u}$, thay số vào ta được phương trình

   $$X=(-1;3)+t\cdot (3;2)$$

   Có thể viết lại thành hệ như sau:

   $$\begin{array}{rcl}{x}_1& =& -1+3t\\ x_2& =& 3+2t\end{array}$$

   Vì đang mô tả một đường thẳng nên t ∈ ℝ. Hình vẽ ở phía dưới một chút.

2. Lập phương trình tham số của tia r có gốc A và đi qua điểm B. Ta dùng chính phương trình tham số ở trên, chỉ giới hạn tham số t. Vấn đề chỉ là chọn t ∈ [0; +∞) hay t ∈ (−∞; 0].

   Vectơ chỉ phương được lấy từ $\overrightarrow{AB}$, nghĩa là điểm đầu là A và điểm cuối là B. Đó đúng là điều ta cần, vì tia cũng phải có gốc A. Do đó không cần đảo hướng bằng các giá trị âm của tham số, và ta lấy tham số t trong nửa khoảng không âm t ∈ [0; +∞).

   Hình minh hoạ lời giải của bài này và bài trước:

   

3. Tìm trung điểm của đoạn thẳng AB. Có hai cách. Cách thứ nhất là cộng toạ độ của hai điểm A, B rồi chia kết quả cho 2:

   $$M=\frac{(-1;3)+(2;5)}{2}=\frac{(1;8)}{2}=(\frac{1}{2};4)$$

   Cũng có thể tìm điểm này nhờ vectơ chỉ phương. Vectơ chỉ phương được lấy từ $\overrightarrow{AB}$, nghĩa là $A+\overrightarrow{u}$ cho ta điểm B. Vì vậy, cộng A với một nửa vectơ chỉ phương, ta được trung điểm của đoạn AB:

   $$M=A+\frac{1}{2}\overrightarrow{u}=(-1;3)+\frac{1}{2}(3;2)=(-1;3)+(\frac{3}{2};1)=(\frac{1}{2};4)$$

   Ta được cùng một điểm. Hình vẽ để kiểm tra: