Vị trí tương đối của hai đường thẳng

Hai đường thẳng trong mặt phẳng có thể ở bốn vị trí khác nhau: song song, cắt nhau, vuông góc hoặc trùng nhau.

Xác định vị trí tương đối từ phương trình

Nếu biết phương trình của hai đường thẳng, ta chỉ cần giải hệ gồm hai phương trình đó. Có ba trường hợp:

1. Hệ vô nghiệm: hai đường thẳng không có điểm chung nào, nên chúng song song.
2. Hệ có nghiệm duy nhất: hai đường thẳng có đúng một điểm chung (giao điểm), nên chúng cắt nhau.
3. Hệ có vô số nghiệm: hai đường thẳng có vô số điểm chung, nên chúng trùng nhau.

Lưu ý rằng cách này không cho biết hai đường thẳng có vuông góc với nhau hay không.

Trên hình có hai đường thẳng song song a, b, hai đường thẳng c, d cắt nhau tại một điểm và hai đường thẳng trùng nhau e, f.

Sau đây là các ví dụ:

1. Xét vị trí tương đối của hai đường thẳng p và q có phương trình p: −x + 3y − 5 = 0 và q: 2x + 3y − 17 = 0. Từ hai phương trình ta lập hệ phương trình bậc nhất rồi giải hệ này:

   $$\begin{array}{rcl}-x+3y-5& =& 0\\ 2x+3y-17& =& 0\end{array}$$

   Nhân phương trình thứ nhất với 2:

   $$\begin{array}{rcl}-2x+6y-10& =& 0\\ 2x+3y-17& =& 0\end{array}$$

   Rồi cộng hai phương trình:

   $$-2x+6y-10+(2x+3y-17)=0$$

   Các bước tiếp theo rất đơn giản:

   $$\begin{array}{rcl}-2x+6y-10+(2x+3y-17)& =& 0\\ 6y+3y-10-17& =& 0\\ 9y-27& =& 0\\ y-3& =& 0\\ y=3\end{array}$$

   Còn phải tính x, chẳng hạn bằng cách thay y = 3 vào phương trình −x + 3y − 5 = 0:

   $$\begin{array}{rcl}-x+3y-5& =& 0\\ -x+3\cdot 3-5& =& 0\\ -x+4& =& 0\\ x& =& 4\end{array}$$

   Hệ phương trình có nghiệm duy nhất x = 4, y = 3. Nghĩa là hai đường thẳng cắt nhau tại điểm X(4; 3). Hình vẽ:

   

2. Xét vị trí tương đối của đường thẳng p có phương trình p: 2x + y − 8 = 0 và đường thẳng q có phương trình tham số:

   $$\begin{array}{rcl}x& =& 5-t\\ y& =& 2+2t\end{array}$$

   Ở đây ta có một phương trình tổng quát và một phương trình tham số. Cách giải là thay x và y trong phương trình tổng quát bằng các biểu thức trong phương trình tham số. Tức là thay x trong phương trình tổng quát bằng vế phải của phương trình tham số tương ứng, y cũng vậy. Ta được một phương trình:

   $$\begin{array}{rcl}2x+y-8& =& 0\\ 2\cdot (5-t)+(2+2t)-8& =& 0\end{array}$$

   Sau đó biến đổi phương trình như thường lệ:

   $$\begin{array}{rcl}2\cdot (5-t)+(2+2t)-8& =& 0\\ 10-2t+2+2t-8& =& 0\\ 12-8+2t-2t& =& 0\\ 4& =& 0\end{array}$$

   Phương trình vô nghiệm, hai đường thẳng không có điểm chung nào. Vậy hai đường thẳng p và q song song. Hình vẽ:

   

3. Xét vị trí tương đối của hai đường thẳng p và q có phương trình p: 3x + y − 10 = 0 và q: −9x −3y + 30 = 0. Nhìn qua cũng thấy phương trình thứ hai bằng phương trình thứ nhất nhân với −3, nên hai đường thẳng có lẽ trùng nhau. Nhưng ta hãy tính. Lập hệ phương trình:

   $$\begin{array}{rcl}3x+y-10& =& 0\\ -9x-3y+30& =& 0\end{array}$$

   Nhân phương trình thứ nhất với 3:

   $$\begin{array}{rcl}9x+3y-30& =& 0\\ -9x-3y+30& =& 0\end{array}$$

   Rồi cộng hai phương trình:

   $$\begin{array}{rcl}9x+3y-30+(-9x-3y+30)& =& 0\\ 9x-9x+3y-3y+30-30& =& 0\\ 0& =& 0\end{array}$$

   Hệ có vô số nghiệm, hai đường thẳng có vô số điểm chung, nên chúng trùng nhau. Hình vẽ:

   

Xác định vị trí tương đối từ vectơ chỉ phương và vectơ pháp tuyến

Nếu biết vectơ chỉ phương hoặc vectơ pháp tuyến, ta cũng xác định được vị trí tương đối của hai đường thẳng. Ta có:

1. Nếu hai vectơ chỉ phương cùng phương (phụ thuộc tuyến tính) thì hai đường thẳng song song hoặc trùng nhau.
2. Nếu hai vectơ chỉ phương không cùng phương (không phụ thuộc tuyến tính) thì hai đường thẳng cắt nhau.
3. Nếu tích vô hướng của hai vectơ chỉ phương bằng 0 thì hai đường thẳng vuông góc với nhau.

Các khẳng định trên cũng đúng với vectơ pháp tuyến. Chẳng hạn, nếu hai vectơ pháp tuyến cùng phương thì hai đường thẳng song song hoặc trùng nhau, v.v.

Ta giải lại ba ví dụ của phần trước bằng vectơ chỉ phương và vectơ pháp tuyến.

1. Xét vị trí tương đối của hai đường thẳng p và q có phương trình p: −x + 3y − 5 = 0 và q: 2x + 3y − 17 = 0. Vectơ pháp tuyến của đường thẳng p là $\overrightarrow{u}=(-1;3)$, vectơ pháp tuyến của đường thẳng q là $\overrightarrow{v}=(2;3)$. Hai vectơ này không cùng phương, vì $\overrightarrow{u},\overrightarrow{v}$ không phụ thuộc tuyến tính: không tồn tại a ∈ ℝ nào sao cho $a\cdot \overrightarrow{u}=\overrightarrow{v}$. Do đó hai đường thẳng cắt nhau.

   Ta tính thêm tích vô hướng để kiểm tra hai đường thẳng có vuông góc với nhau hay không. Tích vô hướng của hai vectơ pháp tuyến là

   $$\overrightarrow{u}\cdot \overrightarrow{v}=(u_1\cdot v_1+u_2\cdot v_2)=-2+9=7$$

   Tích vô hướng khác 0, nên hai đường thẳng không vuông góc với nhau.

2. Xét vị trí tương đối của đường thẳng p có phương trình p: 2x + y − 8 = 0 và đường thẳng q có phương trình tham số:

   $$\begin{array}{rcl}x& =& 5-t\\ y& =& 2+2t\end{array}$$

   Từ phương trình tham số ta đọc ngay được vectơ chỉ phương của đường thẳng q. Các toạ độ của vectơ này là các hệ số của tham số t, nên vectơ chỉ phương của đường thẳng q là $\overrightarrow{v}=(-1;2)$. Từ phương trình tổng quát của đường thẳng p ta đọc ngay được vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{n}=(2;1)$ (các hệ số của x và y). Từ vectơ pháp tuyến ta được vectơ chỉ phương $\overrightarrow{u}=(1;-2)$.

   (Ta chỉ đổi chỗ hai toạ độ và nhân một trong hai toạ độ với −1. Tích vô hướng của hai vectơ (2; 1) và (1; −2) bằng 0, nên nếu (2; 1) là vectơ pháp tuyến thì (1; −2) là vectơ chỉ phương.)

   Ta thấy vectơ chỉ phương của đường thẳng p bằng vectơ chỉ phương của đường thẳng q nhân với −1: $-1\cdot \overrightarrow{v}=\overrightarrow{u}$. Hai đường thẳng có các vectơ chỉ phương cùng phương, nghĩa là hai đường thẳng p và q song song hoặc trùng nhau.

   Bây giờ cần xác định chúng song song hay trùng nhau. Chỉ cần lấy một điểm A bất kì thuộc đường thẳng q rồi thay vào phương trình của đường thẳng p. Nếu đẳng thức đúng thì hai đường thẳng trùng nhau. Ngược lại, chúng chỉ song song.

   Lấy phương trình tham số của đường thẳng q và thay tham số t bằng 0. Ta được:

   $$\begin{array}{rcl}x& =& 5-0=5\\ y& =& 2+2\cdot 0=2\end{array}$$

   Ta được điểm A(5; 2), chắc chắn thuộc đường thẳng q. Thay toạ độ này vào phương trình tổng quát p: 2x + y − 8 = 0:

   $$\begin{array}{rcl}2x+y-8& =& 0\\ 2\cdot 5+2-8& =& 0\\ 12-8& =& 0\\ 4& =& 0\end{array}$$

   Toạ độ điểm này không thoả mãn phương trình, nên điểm A(5; 2) không thuộc đường thẳng p và hai đường thẳng không trùng nhau.

3. Xét vị trí tương đối của hai đường thẳng p và q có phương trình p: −x + 3y − 6 = 0 và q: 3x + y − 14 = 0. Ví dụ này khác ví dụ thứ ba của phần trước. Từ hai phương trình ta đọc được vectơ pháp tuyến của hai đường thẳng: ${\overrightarrow{n}}_p=(-1;3)$ và ${\overrightarrow{n}}_q=(3;1)$. Hai vectơ pháp tuyến không phụ thuộc tuyến tính (không cùng phương): không tồn tại số thực a nào sao cho $a\cdot {\overrightarrow{n}}_p={\overrightarrow{n}}_q$.

   Bây giờ ta kiểm tra hai đường thẳng có vuông góc hay không. Tính tích vô hướng:

   $${\overrightarrow{n}}_p\cdot {\overrightarrow{n}}_q=(-1;3)\cdot (3;1)=-3+3=0$$

   Tích vô hướng bằng 0, hai vectơ vuông góc với nhau. Do đó chính hai đường thẳng cũng vuông góc với nhau. Hình vẽ:

   

   Muốn tìm giao điểm của hai đường thẳng, ta phải tính từ phương trình. Từ hai phương trình tổng quát, lập hệ phương trình:

   $$\begin{array}{rcl}-x+3y-6& =& 0\\ 3x+y-14& =& 0\end{array}$$

   Nhân phương trình thứ nhất với −3:

   $$\begin{array}{rcl}-3x+9y-18& =& 0\\ 3x+y-14& =& 0\end{array}$$

   Cộng hai phương trình rồi biến đổi tiếp:

   $$\begin{array}{rcl}-3x+9y-18+(3x+y-14)& =& 0\\ 9y+y-18-14& =& 0\\ 10y-32& =& 0\\ y=\frac{32}{10}=\frac{16}{5}\end{array}$$

   Hoành độ tính bằng cách thay vào một trong hai phương trình, chẳng hạn −x + 3y − 6 = 0:

   $$\begin{array}{rcl}-x+3y-6& =& 0\\ -x+3\cdot \frac{16}{5}-6& =& 0\\ -x+\frac{48}{5}-\frac{30}{5}& =& 0\\ -x+\frac{18}{5}& =& 0\\ x& =& \frac{18}{5}\end{array}$$

   Giao điểm của hai đường thẳng có toạ độ $P(\frac{18}{5};\frac{16}{5})$.