Xác suất trúng giải Eurojackpot

Eurojackpot là một loại xổ số chọn số do nhiều nước châu Âu cùng tham gia, tương tự xổ số chọn 6 số từ 49 số của Séc. Giải độc đắc Eurojackpot được bảo đảm tối thiểu 10 triệu euro, còn mức tối đa có thể là 120 triệu euro. Luật chơi tương tự loại xổ số 6/49 của Séc.

Luật chơi

Mục tiêu là đoán đúng 5 số được rút ra trong 50 số, và đoán thêm đúng 2 số phụ trong 12 số. Nếu đoán đúng cả 7 số được rút ra, bạn trúng giải độc đắc Eurojackpot. Nếu đoán đúng ít số hơn, bạn có thể trúng các giải thấp hơn (giải nhì, giải ba…). Một điều thú vị là năm 2015 có người ở Cộng hoà Séc trúng giải độc đắc Eurojackpot, với số tiền kỉ lục 2,466 tỉ koruna Séc.

Xác suất trúng giải Eurojackpot

Vậy khả năng trúng giải của bạn là bao nhiêu? Trước hết ta tính xem có tất cả bao nhiêu tổ hợp có thể được rút ra. Ta biết rằng không số nào có thể được rút hai lần và thứ tự rút các số không có ý nghĩa. Điều đó cho thấy không thể dùng chỉnh hợp để tính mà phải dùng tổ hợp. Vậy ta hỏi: có bao nhiêu bộ 5 số khác nhau có thể rút ra từ 50 số? Viết bằng số tổ hợp như sau:

$${\mathrm{C}}_{50}^5$$

Công thức tính số tổ hợp này là:

$${\mathrm{C}}_n^k=\frac{n!}{(n-k)!\cdot k!}$$

trong đó dấu chấm than kí hiệu giai thừa. Thay số vào, ta được:

$${\mathrm{C}}_{50}^5=\frac{50!}{(50-5)!\cdot 5!}=\frac{50!}{45!\cdot 5!}$$

Dùng tính chất của giai thừa, ta viết tử số ra:

$$\frac{50!}{45!\cdot 5!}=\frac{50\cdot 49\cdot 48\cdot 47\cdot 46\cdot 45!}{45!\cdot 5!}$$

Ta thấy cả tử số lẫn mẫu số đều có 45!. Vậy có thể rút gọn cả phân số cho 45!:

$$\frac{50\cdot 49\cdot 48\cdot 47\cdot 46\cdot 45!}{45!\cdot 5!}=\frac{50\cdot 49\cdot 48\cdot 47\cdot 46}{5!}$$

Viết 5! ra:

$$\frac{50\cdot 49\cdot 48\cdot 47\cdot 46\cdot 45!}{45!\cdot 5!}=\frac{50\cdot 49\cdot 48\cdot 47\cdot 46}{5\cdot 4\cdot 3\cdot 2}$$

Nhân tất cả lại:

$$\frac{50\cdot 49\cdot 48\cdot 47\cdot 46}{5\cdot 4\cdot 3\cdot 2}=\frac{254251200}{120}$$

Bây giờ chỉ cần chia:

$$\frac{254251200}{120}=2118760$$

Như vậy có tất cả 2.118.760 bộ 5 số khác nhau có thể rút ra từ 50 số khác nhau. Xác suất để đoán đúng bộ 5 số được rút ra, kí hiệu là P₁, là số nghịch đảo của số đó, tức là

$$P_1=\frac{1}{2118760}$$

Bây giờ ta phải tính xem có bao nhiêu cặp số khác nhau có thể rút ra từ 12 số, để tính xác suất đoán đúng cả các số phụ. Ta lại viết dưới dạng số tổ hợp:

$${\mathrm{C}}_{12}^2$$

Lần này ta bỏ qua các bước tính: dùng máy tính số tổ hợp, ta được

$${\mathrm{C}}_{12}^2=66$$

Vậy có 66 cặp số khác nhau. Xác suất đoán đúng cặp số được rút ra, kí hiệu là P₂, bằng

$$P_2=\frac{1}{66}$$

Nhân hai xác suất này, ta được xác suất P trúng giải độc đắc Eurojackpot:

$$P=P_1\cdot P_2=\frac{1}{2118760}\cdot \frac{1}{66}=\frac{1}{139838160}$$

Khả năng trúng giải độc đắc Eurojackpot là 1 trên 139.838.160. Để dễ hình dung: Cộng hoà Séc có hơn 10 triệu dân một chút. Để chắc chắn có một người ở Séc trúng giải, mỗi người dân Séc phải mua 13 vé với các bộ số khác nhau. Khi đó sau lần quay thưởng chắc chắn có một vé ở Séc là vé trúng giải.